Variabel random kontinu

Ada banyak variabel yang nilai-nilainya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tabular. Sebagai contoh variabel tinggi badan, tentu tidak ada cara untuk membuat daftar semua tinggi badan sebab diantara dua tinggi badan berbeda bisa ada tingi yang lain. Misalnya ada dua orang yang tinggi badanya masing-masing 163.5 cm dan 164.7 cm, tentu sangat mungkin ada yang tingginya di antara kedua tinggi orang tersebut. Dalam keadaan demikian varibel ini lebih mudah digunakan jika dinyatakan dalam bentuk interval.

Variabel random $X$ dinamakan variabel random kontinu jika terdapat fungsi $f(x)$ dan persyaratan berikut:

$f(x)\ge 0$ untuk setiap bilangan real $x$.
$\displaystyle P(-\infty < X < \infty )=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=1$
$\displaystyle P(a < X < b )=\int_a^b f(x) dx.$

Fungsi $f(x)$ di dalam definisi tersebut dinamakan fungsi densitas. Persyaratan (ii) menyatakan bahwa peluang $X$ berada antara $-\infty$ (minus tak hingga) dan $\infty$ (tak hingga) adalah $1$. Hal ini dikarenakan berapun nilai $X$ pasti berada dalam interval $-\infty$ sampai dengan $\infty$. Di dalam persyaratan (iii), $P(a < X < b)$ menyatakan bahwa peluang $X$ berada di antara $a$ dan $b$ sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $f(x)$, sumbu $x$, garis $x=a$ dan garis $x=b$. Karena luas sebuah garis adalah nol, maka peluang pada titik tunggal $x$ sama dengan nol, yakni $P(X=x)=0$. Hal ini berakibat \begin{eqnarray*} P(a < X \le b)&=&P(a < X < b)+P(X=b)\\ &=&P(a < X < b)+ 0\\ &=&P(a < X < b). \end{eqnarray*} Dengan demikian tanda ketaksamaan di dalam $P(a < X < b)$ dapat diganti dengan tanda lebih kecil atau sama dengan, yaitu

\[ P(a < X < b) = P(a \le X < b)=P(a < X \le b)= P(a \le X \le b).\]

Fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinu $X$, dituliskan $F(x)$, adalah

\[ F(x)=P(X \le x) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx. \]

Contoh

Diketahui variabel random kontinyu $X$ memiliki fungsi densitas $f(x)=\frac{1}{5}$ dengan $0 \leq x \leq 5$ dan $f(x)=0$ untuk $x$ lainnya. Carilah

$P(1 \le X \le 3)$
$F(2.5)$

Penyelesaian

$P(1 \le X \le 3)$ menyatakan peluang $X$ berada antara $1$ dan $3$, yaitu luas daerah yang dibatasi oleh garis $x=1$, garis $x=3$, kurva $f(x)=\frac{1}{5}$ dan sumbu horitontal (lihat gambar). Dengan demikian \[P(1 \leq X \leq 3)= \frac{2}{5}.\]

$F(2.5)$ adalah distribusi kumulatif di $x=2.5$ dinyatakan dengan luas daerah kurva $f(x)=\frac{1}{5}$, sumbu horitontal dan daerah di sebelah kiri garis $x=2.5$ (lihat gambar). Dengan demikian \[F(2.5)=\frac{1}{2}.\]

Nilai harapan variabel random kontinyu didefinisikan sejalan dengan variabel random diskrit dengan cara mengganti tanda sigma dengan integral.

Diberikan variabel random kontinu $X$ dengan fungsi densitas $f(x)$. Nilai harapan $X$ didefinisikan \[ \mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x) dx\] dan varian $X$ didefinisikan \[ \sigma^2=Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\cdot f(x) dx.\]

Contoh

Diberikan variabel kontinyu $X$ dengan fungsi densitas \[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}x, \quad 0 \le X \le 2 \\ 0 \text{ untuk }x \text{ lainnya} \end{cases} \] Carilah:

$P(\frac{1}{2}\le X \le 1.5)$
$F(1)$
Nilai harapannya
Variannya

Penyelesaian

$P(\frac{1}{2}\le X \le 1.5)$ sama denga luas daerah yang dibatasai kurva $y=\frac{1}{2}x$, garis $x=\frac{1}{2}$ dan garis $x=1.5$, yaitu
\begin{eqnarray*} P\left(\frac{1}{2}\le X \le 1.5\right)&=&\int_{1/2}^{1.5} f(x)dx =\int_{1/2}^{1.5} \frac{x}{2} dx \\ &=&\left. \frac{x^2}{4}\right|_{1/2}^{1.5}=\frac{(1.5)^2}{4}-\frac{(1/2)^2}{4}=\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}
$F(1)$ sama dengan luas daerah yang dibatasi kurva $y=\frac{x}{2}$, dan garis $x=1$, yaitu \begin{eqnarray*} P\left(0\le X \le 1\right)&=&\int_{0}^{1} \frac{x}{2} dx \\ &=&\left. \frac{x^2}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}. \end{eqnarray*}
Nilai harapannya adalah \begin{eqnarray*} E(X)&=&\int_0^2 x\cdot f(x)dx=\int_0^2 x\cdot \frac{x}{2}dx\\ &=&\int_0^2 \frac{x^2}{2}dx=\left.\frac{x^3}{6}\right|_0^2=\frac{4}{3}. \end{eqnarray*}
Variannya adalah \begin{eqnarray*} Var(X)&=&\int_0^2 (x-E(x))^2\cdot f(x) dx \\ &=&\int_0^2 \left(x-\frac{4}{3}\right)^2\frac{x}{2}dx\\ &=&\int_0^2 \left(\frac{x^3}{2}-\frac{4x^2}{3}+\frac{8x}{9}\right)dx\\ &=&\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{9}+\frac{4x^2}{9}\right)\right|_0^2=\frac{20}{9}. \end{eqnarray*}

Distribusi bersama

Jika $X$ dan $Y$ masing-masing adalah variabel random kontinyu, fungsi $f(x,y)$ merupakan permukaan yang berada di atas bidang $xy$.

Fungsi $f(x,y)$ dinamakan fungsi densitas bersama $X$ dan $Y$ jika memenuhi persyaratan berikut:

$f(x,y)\ge 0$ untuk semua pasangan $(x,y)$
$\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f(x,y)dx dy = 1$
$P((X,Y)\in A) = \iint_{A} f(x,y)dx dy$

Poin (iii) menyatakan bahwa peluang $(X,Y)$ adalah volume ruang di antara permukaan $f(x,y$) dan bidang-$xy$ yang dibatasi oleh bidang $A$.

Contoh

Diketahui $X$ dan $Y$ variabel random konntinyu dengan fungsi peluang densitas bersama \[ f(x)= \begin{cases} x+y, \text{ untuk } 0\le x \le 1,\; 0\le y \le 1\\ 0, \text{ untuk } x, y \text{ lainnya} \end{cases} \] Carilah $P(0< X<\frac{1}{2}, 0 < Y < \frac{1}{3})$.

Penyelesaian

\begin{eqnarray*} P(0 < X < \frac{1}{2}, 0< Y <\frac{1}{3})&=&\int_0^{1/3}\int_0^{1/2}(x+y)dxdy\\ &=&\int_0^{1/3}(\frac{y}{2}+\frac{1}{8})dy\\ &=&\frac{17}{298}. \end{eqnarray*}

Fungsi distribusi marginal $X$ dan $Y$ berturut-turut didefinisikan \begin{eqnarray*} f_X(x)&=&\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy\\ f_Y(y)&=&\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx \end{eqnarray*}

Contoh

Diketahui $X$ dan $Y$ variabel random konntinyu dengan fungsi peluang densitas bersama \[ f(x)= \begin{cases} x+\frac{3}{2}y^2, \text{ untuk } 0\le x \le 1,\; 0\le y \le 1\\ 0, \text{ untuk } x, y \text{ lainnya} \end{cases} \] Carilah fungsi distribusi marginal $X$ dan $Y$

Penyelesaian

\begin{eqnarray*} f_X(x)&=&\int_0^1 (x+\frac{3}{2}y^2)dy\\ &=&\left. \left(xy+\frac{1}{2}y^3\right) \right|_0^1\\ &=& x+\frac{1}{2}\\ f_Y(x)&=&\int_0^1 (x+\frac{3}{2}y^2)dx\\ &=&\left. \left(\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}xy^2\right) \right|_0^1\\ &=&\frac{1}{2}+\frac{3}{2}y^2 \end{eqnarray*}

Diketahui variabel random $X$ dan $Y$ dengan fungsi densitas bersama $f(x,y)$. Peluang bersyarat $Y$ diberikan $X=x$ adalah \[ f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}, \quad f_X(x)>0\] Demikian pula, peluang bersyarat $X$ diberikan $Y=y$ adalah \[ f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}, \quad f_Y(y)>0\]

Dua variabel random kontinyu $X$ dan $Y$ dikatakan independent jika peluang terjadinya $X$ tidak dipengaruhi apakah variabel random $Y$ terjadi atau tidak. Oleh karena itu $f(x|y)=f_X(x)$, sehingga berlaku $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$.

Teorema Jika $f(x,y)$ fungsi densitas variabel random kontinyu $X$ dan $Y$ dan kedua variabel random independen, maka berlaku \[ f(x,y)=f_X(x) f_Y(y), \] dimana $f_X(x)$ dan $f_Y(y)$ berturut-turut fungsi peluang marjinal $X$ dan $Y$.

Distribusi Normal

Variabel random $X$ dikatakan berdistribusi\textbf{ normal} dengan mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$ jika fungsi densitasnya diberikan oleh \[ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(x-\mu)^2/2 \sigma^2}, \] dengan $\pi=2,1415...$ dan $e=2,718282...$. Contoh variabel random yang berdistribusi normal adalah usia suatu jenis bola lampu yang dihasilkan perusahaan tertentu, skor-skor suatu test, konsentrasi suatu bahan kimia pada suatu jenis obat yang diproduksi perusahaan tertentu, dan tinggi tanaman-tanaman padi pada suatu lahan.

Jika mean $\mu = 0$ dan deviasi $\sigma = 1$, maka $X$ dinamakan berdistribusi normal standar. Grafik distribusi normal standar (lihat gambar), berupa kurva yang simetris terhadap garis $x=0$. Pada grafik ini sumbu horisontal $x$ merupakan nilai variabel random dan sumbu vertikal merupakan nilai fungsi densitas $f(x)$. Nilai maksimum grafik ini dicapai pada titik $x=0$, semakin jauh dari titik $x=0$ semakin kecil nilai fungsi ini dan akan mendekati nol jika nilai $x$ mendekatai tak hingga atau mendekati minus tak hingga.

Jika variabel random $X$ berdistribusi normal standar, maka distribusi kumulatifnya dituliskan dengan notasi $\Phi(x)$, yaitu \[ \Phi(x)=P(X \leq x) \] Secara geometris, $\Phi(x)$ merupakan luas daerah yang dibatasi kurva $f(x)$ di kiri garis $X=x$.

Karena kurva fungsi densitas normal standar simetris terhadap garis $x=0$ dan luas seluruhnya adalah $1$, maka \[ \Phi(0)=0.5 \]

Luas daerah yang dibatasi oleh garis $x=0$ dan $x=a$ dengan luas daerah yang dibatasi $x=0$ dan $x=-a$ adalah sama. Dengan demikian berlaku \[ \Phi(-a)=1-\Phi(a).\]

Untuk menghitung peluang variabel random $X$ yang berdistribusi normal standar dapat digunakan tabel normal standar. Peluang variabel random $X$ berada di antara $a$ dan $b$, dengan $a < b$, sama dengan luas daerah di bawah kurva normal yang dibatasi garis $x=a$ dan $x=b$. Dengan demikian \[P(a \leq X \leq b) = \Phi(b)-\Phi(a). \]

Contoh

Diketahui $X$ berdistibusi normal standar. Hitunglah peluang $(i)$ $X$ lebih kecil $1.94$, $(ii)$ $X$ terletak antara $0.5$ dan $1.4$, $(iii)$ $X$ berada antara $-1.1$ dan $1.5$.

Penyelesaian

Dengan menggunkan tabel normal standar,

$P(X < 1.94) = P(X \leq 1.94)= \Phi (1.94) = 0.9738.$
$P(0.5 \leq X \leq 1.4)=\Phi(1.4)-\Phi(0.5) = 0.9192 - 0.6915=0.2277.$
$P(-1.1 \leq X \leq 1.5)=\Phi(1.5)-\Phi(-1.1) = \Phi(1.5)-(1-\Phi(1.1))= 0.9332 - (1-0.8643) = 0.7975.$

Distribusi Chi-Square

Diketahui variabel random $X_1, X_2, X_3, \cdots, X_r$ adalah $r$ variabel independen yang masing-masing berdistibusi normal standar. Variabel random \[ \chi^2=X_1^2+X_2^2+X_3^2+\cdots + X_r^2 \] memiliki distribusi yang dinamakan distribusi Chi-square dengan derajat bebas (degrees of freedom) $r$. Bentuk grafik fungsi densitas distribusi Chi-square tergantung pada nilai derajat bebas.

Distribusi kumulatif $\chi^2$ dengan derajat bebas $r$ dituliskan $P(\chi^2_r \leq x)$. Nilai batas $x$ untuk derajat bebas $r$ dan distribusi kumulatif $\gamma$ tertentu dapat dicari pada suatu tabel yang dinamakan tabel distribusi $\chi^2$.

Contoh

Carilah $x$ sehingga $P(\chi^2_{12} \leq x)=0.05$.

Berdasarkan tabel dengan $r=12$ dan $\gamma = 0.05$ diperoleh $x=5.226$.

Contoh

Suatu target pada ruang dimensi dua akan ditentukan lokasinya. Kesalahan (error) memilih titik pada kedua koordinat berdistribusi normal dengan mean $0$ dan deviasi $3$. Carilah peluang jarak antara titik tesebut dan target lebih besar dari $4$ meter.

Penyelesaian

Jika $D$ menyatakan jarak, maka \[ D^2=X_1^2+X_2^2 \] dimana $X_i$ adalah kesalahan koordinat ke $i$. Karena variabel random $Z_i=X_i/3$ berdistribusi normal, maka $Z_1^2+Z_2^2$ berdistribusi Chi-square dengan derajat bebas 2. Oleh karena itu

\[ P(D^2>16)=P(Z_1^2+Z_2^2>16/9)=P(\chi^2_2 > 16/9) = e^{-16/9} \approx 0.1609. \]

Distribusi t

Diketahui $Y$ dan $Z$ variabel random independen, dengan $Y$ berdistribusi normal standar dan $Z$ berdistribusi chi-square dengan derajat bebas $r$. Dapat ditunjukan bahwa variabel random \begin{equation} T = \frac{Y}{\sqrt{Z/r}} \end{equation} memiliki distribusi yang dinamakan distribusi $t$ dengan derajat bebas $r$. Nilai distribusi kumulatif variabel random berditribusi $t$ dengan derajat bebas $r$ ditulis $P(t_r\leq x)$. Nilai $x$ untuk derajat bebas $r$ dan distribusi kumulatif $\gamma$ tertentu dapat dicari pada suatu tabel yang dinamakan tabel distribusi $t$.

Contoh

Carilah $x$ sehingga $P(t_{10}\leq x)=0.99$.

Berdasarkan tabel dengan $r=10$ dan $\gamma = 0.99$ diperoleh $x=2.7638$.

Distribusi F

Diketahui variabel random $X$ dan $Y$ berdistribusi chi-square dengan derajat bebas berturut-turut $r_1$ dan $r_2$. Dapat dibuktikan bahwa variabel random \begin{equation} F=\frac{X/r_1}{Y/r_2} \end{equation} memiliki suatu distribusi yang dinamakan distribusi $F$ dengan derajat bebas $r_1$ dan $r_2$. Dalam hal ini $r_1$ disebut juga derajat bebas pembilang dan $r_2$ disebut juga derajat bebas penyebut. Distribusi kumulatif $F$ dengan derajat bebas $r_1$ dan $r_2$, ditulis $P(F_{r_1,r_2} \leq x)$. Nilai $x$ untuk $r_1$ dan $r_2$ tertentu dan distribusi kumulatif $\gamma$ tertentu telah dihitung dan ditabelkan pada suatu tabel yang dinamakan tabel $F$.

Contoh

Carilah $x$ sehingga $P(F_{4,10}\leq x)=0.95$.

Berdasarkan tabel dengan $r_1=4$, $r_2=10$ dan $\gamma = 0.95$ diperoleh $x=3.4780$.