Ruang Sampel
Eksperimen random
- Suatu eksperimen dilaksanakan dengan tujuan untuk memperoleh hasil (outcome).
- Eksperimen random adalah suatu eksperimen yang dapat dilakukan berkali-kali pada kondisi yang sama
dan hasilnya tidak dapat ditentukan secara pasti sebelum eksperimen tersebut selesai.
- Dengan demikian hasil yang akan terjadi dari suatu eksperimen random mengandung suatu ketidakpastian.
- Meskipun hasil suatu eksperimen random tidak dengan secara pasti dapat ditentukan, namun masih dapat ditentukan semua hasil yang mungkin terjadi.
Ruang sampel suatu eksperimen random adalah
himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin terjadi. Untuk selanjutnya, ruang sampel ditulis dengan notasi $S$.
Contoh
Dua keping koin dilontarkan satu kali. Peristiwa yang diamati adalah terjadinya sisi koin yang menghadap ke atas setelah kedua koin mendarat.
Sisi angka dituliskan $a$ dan sisi gambar dituliskan $g$. Ruang sampelnya adalah himpunan semua yang mungkin terjadi (perhatikan gambar disamping), yaitu
\[ S=\{aa,ag,ga,gg\}.\]
Notasi $ag$ misalnya, menyatakan terjadinya sisi angka pada koin pertama dan sisi gambar koin kedua.
Contoh
Sebuah dadu dilontarkan satu kali. Peristiwa yang diamati adalah banyaknya spot pada setiap sisi dadu yang menghadap ke atas setelah dadu mendarat.
Ada 6 hasil yang mungkin terjadi seperti ditunjukkan melalui gambar di samping. Ruang sampel percobaan ini adalah
\[ S =\{1,2,3,4,5,6\}.\]
Peristiwa
- Peristiwa (event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel $S$.
- Peristiwa dituliskan dangan notasi $A,B,C,D,E,F$ dan sebagainya.
- Peristiwa $E$ dikatakan terjadi, jika $E$ memiliki anggota, yakni $E$ bukan himpunan kosong.
- Suatu peristiwa yang memiliki tepat satu anggota dinamakan peristiwa elementer.
Karena peristiwa adalah himpunan, maka peristiwa dapat dioperasikan dengan operasi himpunan. Operasi himpunan ini memiliki makna
yang didefinisikan dalam definisi berikut.
Diketahu $S$ ruang sampel.
- Peristiwa $E \cup F$ menyatakan terjadinya peristiwa $E$ atau $F$.
- Peristiwa $E \cap F$ menyatakan terjadinya peristiwa $E$ dan $F$.
- Peristiwa $E^c$ menyatakan terjadinya peristiwa selain $E$.
- Dua peristiwa $E$ dan $F$ dikatakan saling asing ( mutually exclusive) jika $E \cap F =\emptyset$,
yakni jika kedua peristiwa tidak memiliki anggota bersama. Ini berarti kedua peristiwa tidak mungkin terjadi bersama-sama.
Contoh
Perhatikan kembali contoh
dua koin diatas. Percobaan ini memiliki $4$ peristiwa elementer, yaitu
\[ \{ag\}, \{ga\},\{aa\}, \text{ dan } \{gg\}. \]
Jika $E$ adalah peristiwa terjadinya sisi angka tepat satu kali, maka dapat dituliskan
\[E= \{ag, ga\}.\]
Jika $F$ peristiwa terjadinya sisi gambar setidaknya satu kali, maka dapat dituliskan
\[ F=\{ag,ga, gg\}.\]
Contoh
Pada contoh
melontarkan Sebuah dadu di atas, memiliki peristitiwa elementer sebanyak $6$, yaitu
\[ \{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\}, \text{dan } \{6\}.\]
Diketahui $E$ peristiwa terjadinya sisi ganjil, yakni
\[ E=\{1,3,5\},\]
$F$ peristiwa terjadinya sisi yang lebih kecil dari $5$, yakni
\[ F=\{1,2,3,4\},\]
dan $G$ peristiwa terjadinya sisi genap, yakni
\[ G=\{2,4,6\}.\]
Peristiwa $E\cap F$ berarti peristiwa terjadinya sisi ganjil dan lebih kecil dari $5$, yaitu
\[ E\cap F =\{1,3\}.\]
Peristiwa $E\cup F$ berarti peristiwa terjadinya sisi ganjil atau sisi yang lebih kecil dari $5$, yaitu
\[ E\cup F =\{1,2,3,4,5\}.\]
Peristiwa $E^c$ berarti peristiwa terjadinya selain sisi ganjil, yaitu
\[ E^c =\{2,4,6\}.\]
Persitiwa $E$ dan $G$ merupakan peristiwa yang saling asing, Karena
\[ F\cap G =\emptyset,\]
yang berarti peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi bersama.
Contoh
Dua dadu dilontarkan satu kali. Pasangan $(a,b)$ menyatakan sisi yang terjadi pada dadu pertama $a$ dan pada dadu kedua $b$.
Ruang sampelnya memiliki $36$ anggota yaitu
\begin{eqnarray*}
S&= \{& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\
& & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\
& & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\\
& & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\\
& & (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\\
& & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.
\end{eqnarray*}
Jika $E$ peristiwa terjadinya jumlah kedua spot dadu $10$, maka dapat dituliskan
\[E=\{(4,6),(5,5),(6,4)\}.\]
Jika $F$ peristiwa terjadinya dadu pertama spot $4$ dan dadu kedua spot ganjil, maka dapat dituliskan
\[F=\{(4,1),(4,3),(4,5)\}.\]
Peluang
Didalam suatu percobaan random, akan terjadinya suatu peristiwa tidak dapat ditentukan secara pasti. Tingkat kepastian atau ketidakpastian ini diukur dengan suatu ukuran yang dinamakan
peluang (probability).
[Pengertian klasik] Diketahui peristiwa $E$ memiliki $n$ anggota berbeda dari seluruh $N$ anggota ruang sampel yang semuanya memiliki kemungkinan sama. Peluang peristiwa $E$, dituliskan $P(E)$, adalah
\[ P(E)=\frac{n}{N}.\]
Pengertian peluang secara klasik mengandung arti bahwa setiap peristiwa elementer memiliki peluang yang sama,
yaitu sebesar $\frac{1}{N}$ dan jumlah anggota ruang sampelnya berhingga.
Contoh
Sebuah mangkok berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Dari mangkok tersebut diambil tanpa pilih-pilih sebuah bola.
Berapa peluang terambilnya (a) bola merah, (b) bola biru ?
Penyelesaian
Misalnya $n_1$ dan $n_2$ berturut-turut menyatakan banyaknya bola merah dan biru, jadi $n_1=5$ dan $n_2=4$.
Seluruhnya ada $N=5+4$ bola.
- Peluang terambilnya bola merah adalah
\[P(merah)=\frac{n_1}{N}=\frac{5}{9}. \]
-
Peluang terambilnya bola biru adalah
\[P(biru)=\frac{n_2}{N}=\frac{4}{9}.\]
Perhatikan bahwa $P(merah)+P(biru)=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1$.
Pada kenyataannya tidak semua peristiwa elementer memiliki peluang yang sama,
misalnya peluang terambilnya produk yang rusak dari sekumpulan produk tentu tidak sama dengan peluang terambilnya produk yang tidak rusak.
Oleh karena itu pengertian klasik peluang tidak selalu bisa diterapkan untuk berbagai fenomena yang ada di sekitar kita.
[DEFINISI PELUANG]
Diketahui $S$ ruang sampel. Untuk setiap peristiwa $E$ dikaitkan dengan suatu kuantitas yang dituliskan $P(E)$ yang memenuhi sifat-sifat berikut:
- $ 0 \leq P(E) \leq 1$.
- $P(S)=1$.
-
$P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \cdots) = P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)+\cdots$
dimana $E_1, E_2, E_3, \cdots$ adalah peristiwa yang saling asing.
Jika $P$ memenuhi ketiga sifat tersebut, maka $P$ dinamakan peluang, dan $P(E)$ dinamakan peluang terjadinya peristiwa $E$.
- Kondisi (i) menyatakan bahwa peluang suatu peristiwa adalah suatu nilai numerik yang besarnya dari $0$ hingga $1$.
- Kondisi (ii) menyatakan bahwa peristiwa terjadinya ruang sampel adalah pasti.
- Kondisi (iii) menyatakan bahwa peluang gabungan peristiwa yang saling asing sama dengan jumlah peluang masing-masing peristiwa.
Peluang merupakan ukuran numerik kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Semakin besar nilai peluang suatu pertistiwa semakin besar kemungkinan perristiwa tersebut terjadi.
Sebaliknya jika peluang suatu peristiwa mendekati nilai nol, berarti semakin kecil kemungkinan peristiwa
tersebut terjadi. Peristiwa dengan peluang $1$ artinya peristiwa tersebut pasti terjadi,
sedangkan peristiwa dengan peluang $0$ artinya peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi.
Contoh
Dua keping koin dilontarkan satu kali. Diasumsikan setiap peristiwa elementer memiliki peluang sama.
Akan dicari peluang setiap peristiwa elementer.
PENYELESAIAN
Ruang sampelnya adalah
\[ S=\{aa,ag,ga,gg\}.\]
Dimisalkan peluang setiap peristiwa elementer adalah $p$.
Karena $P(S)=1$, ini berarti
\[ 1 = P(S)=P(\{aa,ag,ga,gg\})=P(aa)+P(ag)+P(ga)+P(gg) = p+p+p+p=4p.\]
Dari sini diperoleh $4p=1$, sehingga $p=\frac{1}{4}$. Dengan demikian peluanga setiap peristiwa elementer aalah $1/4$.
Contoh
Tiga keping koin dilontarkan satu kali dan diamati sisi yang menghadap ke atas. Ruang sampelnya adalah
\[ S = \{aaa,aag,aga,gaa,agg,gag,gga,ggg \}.\]
Dianggap setiap peristiwa elementer memiliki peluang sama, yaitu $\frac{1}{8}$. Jika $E$ menyatakan peristiwa terjadinya sisi angka satu kali dan $F$ menyatakan peristiwa terjadinya sisi gambar paling sedikit dua kali, maka $E$ dan $F$ dapat dituliskan
\[ E=\{agg,gga,gag \} \quad \textnormal{dan} \quad F= \{ggg,gga, gag,agg\}.\]
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{lll}
P(E)&=&P(agg,gga,gag)\\
&=& P(agg)+P(gga)+P(gag) \\
&=& \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\\
&=&\frac{3}{8}.\\
P(F)&=&P(ggg,gga,gag,agg)\\
&=&P(ggg)+P(gga)+P(gag)+P(agg)\\
&=&\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\\
&=&\frac{1}{2}.
\end{array}
\]
SIFAT-SIFAT PELUANG
Diberikan ruang sampel $S$.
- Jika $E \subset F$ maka $P(E) \le P(F)$.
- Untuk sebarang peristiwa $E$ berlaku $P(E^c)=1-P(E)$.
- $P(\emptyset)=0$, dengan $\emptyset$ himpunan kosong.
- $P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F)$.
Contoh
Diberikan ruang sampel $S=\{a,b,c,d\}$. Jika $P(\{a\})=\frac{1}{3}, P(\{b\})=\frac{1}{4}$ dan $P(\{c\})=\frac{1}{4}$, carilah $P(\{d\})$.
Penyelesaian
Misalkan $E=\{a,b,c\}$. Jadi $E^c=\{d\}$. Dengan menggunakan sifat peluang,
\begin{eqnarray*}
P(\{d\})&=&P(E^c)\\
&=&1-P(E)\\
&=&1-P(\{a,b,c\})\\
&=&1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\\
&=&\frac{1}{6}.
\end{eqnarray*}
Contoh
Dua dadu dilontarkan satu kali. Misalkan peluang setiap peristiwa elementer sama, yaitu $\frac{1}{36}$.
Jika $E=\{(1,1),(2,1),(2,2),(4,1),(5,1)\}$ dan $F=\{(1,2),(2,2),(3,2)\}$, carilah $P(E\cup F)$.
Penyelesaian
Dicari terlebih dahulu:
- $E \cap F = \{(2,2)\}$,
- $P(E)=\frac{5}{36}$,
- $P(F)=\frac{3}{36}$ dan
- $P(E \cap F)=\frac{1}{36}$.
Dengan menerapkan sifat peluang diperoleh
\[ P(E \cup F)= \frac{5}{36}+\frac{3}{36}-\frac{1}{36}=\frac{7}{36}.\]
Prinsip dasar perhitungan
Dalam menghitung banyaknya anggota ruang sampel atau peristiwa, sering dijumpai proses penghitungan yang tidak mudah. Dalam bagian ini akan diuraikan prinsip dasar perhitungan yang bisa membantu dalam menghitung banyaknya anggota ruang sampel.
[Prinsip dasar perhitungan] Jika peristiwa $E_1$ dapat terjadi $n_1$ cara dan peristiwa $E_2$ dapat terjadi $n_2$ cara, maka kedua peristiwa $E_1$ dan $E_2$ dapat terjadi dalam $n_1 \cdot n_2$ cara.
Contoh
Diketahui $E_1$ himpunan abjad $a,b,c,d$ dan $E_2$ himpunan bilangan $1,2,3$. Ada berapa pasangan yang terdiri dari satu abjad dan satu angka dari kedua himpunan?
Penyelesaian
Karena ada $4$ abjad dan $3$ bilangan, maka banyaknya pasangan tersebut adalah $4 \cdot 3 =12.$
Kedua belas pasangan adalah:
| (a,1) | (a,2) | (a,3) |
| (b,1) | (b,2) | (b,3) |
| (c,1) | (c,2) | (c,3) |
| (d,1) | (d,2) | (d,3) |
Contoh
Ada $5$ cara menuju kota $B$ dari kota $A$ dan ada $9$ cara menuju kota $C$ dari kota $B$. Ada berapa cara menuju kota $C$ dari kota $A$.
Penyelesaian
Ada $5 \cdot 9= 45$ cara.
Jika peristiwa $E_1$ dapat terjadi dalam $n_1$ cara, peristiwa $E_2$ dapat terjadi dalam $n_2$ cara, $\cdots$, peristiwa $E_k$ dapat
terjadi dalam $n_k$ cara, maka ke $k$ peristiwa dapat terjadi dalam $n_1 \cdot n_2 \cdots n_k$ cara.
Contoh
Suatu kotak berisi $5$ bola putih dan $6$ bola hitam. Diambil secara random dua bola. Berapa peluang terambilnya satu bola putih dan satu bola hitam?
Banyaknya seluruh bola adalah 11. Banyaknya cara mengambil $2$ bola dari $11$ bola adalah $11 \cdot 10=110$.
Jika bola pertama yang terambil adalah putih, maka ada $5 \cdot 6 = 30$ cara. Jika bola pertama yang terambil adalah hitam, maka ada $6 \cdot 5=30$ cara.
Jadi peluang terambilnya satu bola putih dan satu bola hitam adalah
\[\frac{30+30}{110}=\frac{6}{11}.\]
Permutasi
Diketahui $n$ bilangan bulat positif. Notasi $n!$ dibaca
n faktorial, didefinisikan sebagai berikut,
\[ n!= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,\]
dan $0!=1$.
\begin{eqnarray*}
\begin{aligned}
2!&=1 \cdot 2 = 2.\\
4!&=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24.\\
5!&=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 =120.\\
8!&= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 =5!\cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 120 \cdot 336=40320.\\
\frac{7!}{4!}&=\frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{4!}= 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210.\\
13 \cdot 12 \cdot 11 &= \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!}=\frac{13!}{10!}.
\end{aligned}
\end{eqnarray*}
Permutasi adalah susunan objek yang urutannya diperhatikan. Misalnya, susunan $ab$ dan $ba$ merupakan dua susunan berbeda.
Jika dari objek $n$ objek diambil $r$ objek, maka susunan $r$ objek yang tebentuk dinamakan permutasi $n$ objek diambil $r$ objek.
Contoh
Perhatikan empat abjad $a,b,c$ dan $d$.
$abcd$, $bdca$ dan $dcab$ merupakan permutasi $4$ abjad.
$abc, acd, bda$ dan $bca$ merupakan permutasi $4$ abjad diambil $3$ abjad.
Contoh
Diberikan lima abjad $A,B, C, D$ dan $E$. Berapakah banyaknya permutasi $5$ abjad diambil $2$ abjad?
Penyelesaian
Banyaknya permutasi ada $20$ seperti ditunjukkan pada skema.
| AB | AC | AD | AE |
| BA | CA | DA | EA |
| BC | BD | BE |
| CB | DB | EB |
| CD | CE |
| DC | EC |
| DE | ED |
Banyaknya permutasi $n$ objek diambil $r$ objek dituliskan $P(n,r)$, adalah
\[P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}.\]
Bukti
Diketahui ada $n$ objek. Pengambilan pertama ada $n$ cara, pengambilan kedua ada $n-1$ cara, pengambilan ketiga ada $n-2$ cara, dan seterusnya, pengambilan ke $r$ ada $(n-r+1)$ cara. Oleh karena itu berdasarkan prinsip dasar perhitungan akan ada
\begin{eqnarray*}
n\cdot (n-1)\cdots (n-r+1)& =& \frac{n\cdot (n-1)\cdots (n-r+1)\cdot (n-r)!}{(n-r)!}\\
&=& \frac{n!}{(n-r)!}\\
&=&P(n,r)
\end{eqnarray*}
Contoh
Ada empat objek, namakan $a,b,c$ dan $d$.
- Banyaknya permutasi $4$ objek diambil $3$ objek adalah
\[P(4,3)=\frac{4!}{(4-3)!}=24.\]
- Banyaknya permutasi $4$ objek diambil $2$ objek adalah
\[P(4,2)=\frac{4!}{(4-2)!}=12.\]
- Banyaknya permutasi $4$ objek adalah
\[P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=24.\]
Permutasi dengan pengulangan
Kadang-kadang kumpulan objek ada yang sama. Misalnya pada kata "STATISTIKA", ada beberapa abjad yang sama.
Permutasi yang disusun dari kumpulan objek demikian dinamakan permutasi dengan pengulangan.
Diketahui $n$ objek dimana ada $n_1$ objek sama, $n_2$ sama, $\cdots $ $n_r$ objek sama.
Banyaknya permutasi $n$ objek adalah
\[ \frac{n!}{n_1 \cdot n_2!\cdots n_r!}\]
Contoh
Berapakah banyaknya permutasi $10$ abjad dari abjad di dalam kata "STATISTIKA"?
Penyelesaian
Abjad $S$ ada $2$, $T$ ada $3$, $A$ ada $2$, $I$ ada $2$ dan $K$ ada $1$. Oleh karena itu banyaknya permutasi
\[ \frac{10!}{2!\cdot 3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1!}=75600.\]
Sampel terurut
Diantara persoalan di dalam kombinatorika adalah mengambil $r$ objek dari sekelompok objek. Jika pengambilan objek ini dilakukan satu per satu secara berurutan, maka proses ini dinamakan
pengambilan sampel terurut berukuran $r$. Ada dua cara pengambilan sampel terurut:
Pengambilan sampel dengan pengembalian, yaitu objek yang telah diambil dikembalikan lagi sebelum pengambilan berikutnya. Jika ada $n$ objek, maka berdasarkan prinsip dasar perhitungan akan ada
\[ \underbrace{n\cdot n \cdots n}_{r \text{ suku}} = n^r \]
sampel terurut berbeda berukuran $n$.
Pengambilan sampel tanpa pengembalian, yaitu objek yang telah diambil tidak dikembalikan ke kelompok tersebut. Dengan demikian tidak ada pengulangan objek dalam sampel terurut tersebut, sehingga sampel ini merupakan permutasi $n$ diambil $r$. Oleh karena itu akan ada
\[ P(n,r)= \frac{n!}{(n-r)!}\]
sampel terurut berbeda berukuran $n$.
Contoh
Ada berapa susunan $4$ abjad berbeda yang dapat dibentuk dari alfabet $a$ sampai dengan $z$, jika
Susunan tersebut boleh ada huruf yang sama
Susunan tersebut tidak boleh ada huruf yang sama
Didalam soal ini $n=26$ dan $r=3$.
Susunan tersebut boleh ada huruf yang sama, yang berarti abjad yang sudah terpilih bisa dipilih lagi. Dengan demikian ini merupakan sampel terurut dengan pengembalian. Jadi banyaknya sampel terurut adalah
\[ 26\cdot 26 \cdot 26 = 17576.\]
Susunan tersebut tida boleh ada huruf yang sama, yang berarti abjad yang sudah terpilih tidak bisa dipilih lagi. Jadi merupakan sampel terurut tanpa pengembalian. Oleh karena itu banyaknya sampel berbeda ada
\[ P(26,3)=\frac{26!}{(26-3)!}=\frac{23 ! \cdot 24 \cdot 25 \cdot 26}{23!}= 24 \cdot 25 \cdot 26=15600.\]
Kombinasi
Kombinasi $n$ objek adalah susunan $n$ objek tanpa memperhatikan urutannya. Jadi susunan $abc$ dan $bac$ merupakan kombinasi yang sama.
Contoh
Diketahui kumpulan objek $a,b,c$ dan $d$. Daftarkan semua kombinasi dan permutasi tiga huruf dari keempat huruf.
Penyelesaian
Kombinasi tiga abjad dari empat abjad tersebut dituliskan pada kolom paling kiri dan permutasinya pada kolom-kolom sebelah kanan pada skema di samping. Perhatikan bahwa banyaknya permutasi yang teridiri atas abjad yang sama (satu baris) ada $3!=6$ permutasi.
| Kombinasi | Permutasi |
|---|
| abc | abc | acb | bac | bca | cab | cba |
| abd | abd | adb | bad | bda | dab | dba |
| acd | acd | adc | cad | cda | dac | dca |
| bcd | bcd | bdc | cbd | cdb | dbc | dcb |
Banyaknya kombinasi $n$ objek diambil $r$ objek dituliskan $\binom{n}{r}$, adalah
\begin{equation}
\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.
\end{equation}
Bukti
Banyaknya permutasi yang terdiri atas objek yang sama ada $r!$. Oleh karena itu banyaknya kombinasi sama dengan banyaknya permutasi dibagi banyaknya permutasi yang terdiri atas objek yang sama, atau
\[ \binom{n}{r}=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.\]
Ada berapa kombinasi yang bisa terjadi jika dari abjad-abjad $a,b,c,d$ dan $e$ diambil $3$ abjad?
Dalam contoh ini,
$n=5$ dan $r=3$. Jadi banyaknya kombinasi adalah
\[
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}
=\frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{3! \cdot 2!}
=\frac{20}{2}=10.
\]
Akan dibentuk panitia dengan $3$ anggota. Jika ada $8$ orang, ada berapa panitia berbeda yang dapat dibentuk?
Panitia tersebut merupakan kombinasi $8$ objek diambil $3$. Jadi ada
\[ \binom{8}{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=56\]
panitia berbeda yang dapat dibentuk.
Peluang bersyarat
Diketahui peristiwa $E$ dan $F$. Peluang terjadinya $E$ jika diketahui peristiwa $F$ telah terjadi dinamakan peluang bersyarat (conditional probability),
dituliskan $P(E|F)$.
[Peluang bersyarat]. Peluang terjadinya peristiwa $E$ jika diketahui peristiwa $F$ terjadi didefinisikan
\begin{equation}
P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}.
\end{equation}
Contoh
Suatu mangkok berisi tujuh bola hitam dan lima bola putih. Diambil dua bola secara berurutan dari dalam mangkok tersebut secara random dan bola yang telah terambil tidak dikembalikan ke dalam mangkok. Dianggap setiap bola memiliki peluang sama untuk terambil.
Berapa peluang bola yang terambil keduanya adalah bola hitam?
PENYELESAIAN
Misalkan $F$ dan $E$ berturut-turut peristiwa bola pertama dan bola kedua adalah hitam. Karena bola pertama yang terambil hitam, maka ada enam bola hitam dan lima bola putih yang tersisa di dalam mangkok. Dengan demikian
\[P(E|F)=\frac{6}{11}.\]
Karena $P(F)=\frac{7}{12}$, maka peluang terambilnya kedua bola hitam adalah
\[P(E \cap F)=P(F)P(E|F)=\frac{7}{12} \frac{6}{11}=\frac{42}{132}.\]
Rumus Bayes
Diketahui peristiwa $E$ dan $F$. Peristiwa $E$ dapat dituliskan
\[ E=(E\cap F)\cup (E\cap F^c).\]
Karena $E\cap F$ dan $E\cap F^c$ saling asing, maka
\begin{eqnarray}
P(E)&=&P(E\cap F)+ P(E\cap F^c) \nonumber \\
&=&P(E |F)P(F) + P(E|F^c)P(F^c)
\label{bayes1}
\end{eqnarray}
Persamaan \ref{bayes1} menyatakan bahwa peluang peristiwa $E$ merupakan rata-rata terbobot peluang bersyarat $E$ diketahui $F$ terjadi dan peluang bersyarat $E$ diketahui $F$ tidak terjadi, dimana setiap peluang bersyarat tersebut sebesar bobot peristiwa bersyaratnya.
Persamaan \ref{bayes1} dapat diperumum dengan cara berikut.
Misalkan $F_1,F_2,\cdots, F_n$ peristiwa yang saling asing dan
\[ \bigcup_{i=1}^n F_i=S,\]
dimana
\[ \bigcup_{i=1}^n F_i = F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_n.\]
Peristiwa $E$ dapat dituliskan dengan
\[ E=\bigcup_{i=1}^n (E\cap F_i).\]
Karena $F_1,F_2,\cdots, F_n$ peristiwa yang saling asing, maka $E\cap F_1, E\cap F_2,\cdots, E\cap F_n$ peristiwa yang saling asing. Oleh karena itu
\begin{eqnarray}
P(E)&=&P(E\cap F_1)+P( E\cap F_2)+\cdots P( E\cap F_n) \nonumber \\
&=&P(E|F_1)P(F_1)+P(E|F_2)P(F_2)+\cdots +P(E|F_n)P(F_n)
\label{bayes2}
\end{eqnarray}
Contoh
Tiga mesin $A,B$ dan $C$ masing-masing memproduksi $50\%, 30\%$ dan $20\%$ dari total produk di suatu pabrik.
Persentasi item produk yang cacat dari mesin-mesin ini masing-masing $3\%, 4\%$ dan $5\%$.
Jika satu item produk diambil secara random, berapakah peluang item yang terambil tersebut cacat?
PENYELESAIAN
Misalkan $X$ menyatakan peristiwa item yang terambil cacat. Berdasarkan persamaan \ref{bayes2},
\begin{eqnarray*}
P(X)&=& P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)+P(X|C)P(C)\\
&=& (0.03)(0.50)+(0.04)(0.30)+(0.05)(0.20)\\
&=&0.037.
\end{eqnarray*}
Sekarang dimisalkan peristiwa $E$ telah terjadi dan akan ditentukan satu dari peristiwa $F_j$ terjadi.
Dengan menggunakan persamaan \ref{bayes2}
\begin{eqnarray}
P(F_j|E)&=&\frac{P(E\cap F_j)}{P(E)} \nonumber\\
&=&\frac{P(E|F_j)P(F_j)}{P(E|F_1)P(F_1)+P(E|F_2)P(F_2)+\cdots +P(E|F_n)P(F_n)}
\label{bayes}
\end{eqnarray}
Persamaan \ref{bayes} dinamakan rumus Bayes, diambil dari nama filosof Inggris Thomas Bayes.
Jika peristiwa $F_j$ diandaikan sebagai "hipotesis" tentang suatu masalah,
maka rumus Bayes dapat diinterpretasikan bagaimana pendapat tentang hipotesis tersebut
sebelum eksperimen dilaksanakan.
Contoh
Perhatikan kembali pabrik pada Contoh.
Misalkan suatu item diambil secara random dan didapatkan cacat.
Berapa peluang bahwa item tersebut diproduksi oleh mesin $A$.
PENYELESAIAN
Peluang bahwa item cacat diproduksi oleh mesin $A$ adalah $P(A|X)$. Berdasarkan rumus Bayes
\begin{eqnarray*}
P(A|X)&=&\frac{P(X|A)P(A)}{P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)+P(X|C)P(C)}\\
&=&\frac{(0.03)(0.50)}{(0.03)(0.50)+(0.04)(0.30)+(0.05)(0.20)}\\
&=&\frac{15}{27}.
\end{eqnarray*}
Peristiwa saling independen
Peristiwa $E$ dan $F$ dikatakan independen jika peluang terjadinya peristiwa $E$ tidak tergantung apakah peristiwa $F$ terjadi atau tidak terjadi. Dalam hal ini $P(E|F)=P(E)$, dan substitusi ke dalam definisi peluang bersyarat, pengertian independen dapat dinyatakan sebagai berikut.
Peristiwa $E$ dan $F$ dikatakan saling independen jika
\begin{equation}
P(E \cap F) = P(E)\cdot P(F).
\label{independen}
\end{equation}
Jadi peristiwa $E$ dan $F$ independen jika peluang terjadinya kedua peristiwa bersamaan sama dengan hasil kali peluang terjadinya masing-masing peristiwa.
CONTOH
Satu mata uang logam dilontarkan dua kali. $E$ peristiwa terjadinya sisi $a$ pada lontaran pertama dan $F$ peristiwa terjadinya sisi $g$ pada lontaran kedua, yaitu
\[E=\{aa,ag\} \quad \text{dan} \quad F=\{ag,gg\}.\]
Jika setiap peristiwa elementer memiliki peluang sama, maka
\[P(E \cap F)=P(ag)=\frac{1}{4} \]
\[ P(E)\cdot P(F)=P(aa,ag)\cdot P(ag,gg)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4},\]
sehingga $P( E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$, dengan kata lain $E$ dan $F$ adalah peristiwa yang independen.
CONTOH
Dua dadu dilontarkan satu kali.
$A$ menyatakan peristiwa terjadinya jumlah spot kedua sisi adalah enam dan
$B$ menyatakan peristiwa terjadinya spot sisi dadu pertama empat.
Diperoleh
\[P(A \cap B)=P(\{4,2\})=\frac{1}{36}\]
dan
\[P(A)\cdot P(B)=\frac{5}{36} \cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{216},\]
dan karena $P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$, maka peristiwa $A$ dan $B$ tidak independen.
Definisi peristiwa independen dapat diperluas untuk lebih dari dua peristiwa.
Peristiwa $E_1, E_2, \cdots, E_n$ dikatakan independen, jika untuk setiap bilangan asli $r \leq n$ berlaku
\[P(E_{1'} \cap E_{2'} \cap \cdots \cap E_{r}) = P(E_{1'}) \cdot P(E_{2'}) \cdots P( E_{r}).\]
