Variabel Random Kontinyu
Variabel random $X$ dinamakan variabel random kontinu
jika terdapat fungsi $f$ sehingga peluang variabel random $X$ berada di antara $a$ dan $b$ sama dengan luas
daerah yang dibatasi oleh suatu kurva $f(x)$, sumbu $x$, garis $x=a$ dan garis $x=b$.
Peluang variabel random $X$ berada di antara nilai $a$ dan $b$ dituliskan $P(a < X < b)$.
Jika $X$ variabel randon kontinu, maka
peluang pada setiap titik tunggal $c$ sama dengan nol, yakni $P(X=c)=0$, sebab luas sebuah garis adalah nol. Akibatnya
\begin{eqnarray*}
P(a < X \le b)&=&P(a < X < b)+P(X=b)\\
&=&P(a < X < b)+0\\
&=&P(a < X < b).
\end{eqnarray*}
Dengan demikian tanda ketaksamaan di dalam $P(a < X < b)$ dapat diganti dengan tanda lebih kecil atau sama dengan, yaitu
\[ P(a < X < b) = P(a \le X < b)=P(a < X \le b)= P(a \le X \le b).\]
Perhatikan kembali Gambar \ref{varkont}, luas daerah berwarna tersebut tidak lain adalah integral fungsi $f(x)$ dengan batas-batas integrasi $a$ dan $b$. Oleh karena itu
\begin{equation}
\label{fdensitas}
P(a < X < b)=\int_a^b f(x) dx.
\end{equation}
Fungsi $f(x)$ di dalam persamaan (\ref{fdensitas}) dinamakan
fungsi densitas.
Lebih lanjut, jika $a=-\infty$ (minus tak hingga) dan $b=\infty$ (tak hingga), maka berdasarkan definisi peluang
\begin{equation}
P(-\infty < X < \infty)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=1.
\end{equation}
Fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinu $X$, dituliskan $F(x)$,
didefinisikan sebagai peluang variabel random $X$ bernilai lebih kecil atau sama dengan $x$ atau
\begin{equation}
F(x)=P(X \le x)
\end{equation}
Contoh 1
Diketahui variabel random kontinyu $X$ memiliki fungsi densitas $f(x)=\frac{1}{5}$ dengan $0 \leq x \leq 5$.
Carilah
$P(1 \le X \le 3)$
$F(2.5)$
Penyelesaian
$P(1 \le X \le 3)$ menyatakan
peluang variabel random $X$ berada antara $1$ dan $3$, yaitu luas daerah yang dibatasi oleh garis $x=1$, garis $x=3$, grafis $f(x)=\frac{1}{5}$ dan sumbu horitontal (Gambar \ref{pkontinu}). Dengan demikian
\[P(1 \leq X \leq 3)= \frac{2}{5}.\]
$F(2.5)$ adalah distribusi kumulatif di $x=2.5$ dinyatakan dengan luas daerah grafis $f(x)=\frac{1}{5}$,
sumbu horitontal dan daerah di sebelah kiri garis $x=2.5$. Dengan demikian
\[F(2.5)=\frac{1}{2}.\]
Nilai harapan variabel random kontinyu didefinisikan sejalan dengan variabel random diskrit dengan cara mengganti tanda sigma dengan integral.
Diberikan variabel random kontinu $X$ dengan fungsi densitas $f(x)$.
Nilai harapan $X$ didefinisikan
\[ \mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x) dx\]
dan varian $X$ didefinisikan
\[ \sigma^2=Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2\cdot f(x) dx.\]
Contoh 2
Diberikan variabel kontinyu $X$ dengan fungsi densitas
\[ f(x)=\frac{1}{2}x, \quad 0\le X\le 2.\]
Carilah:
- $P(\frac{1}{2}\le X \le 1.5)$
- $F(1)$
- Nilai harapannya
- Variannya
Penyelesaian
- $P(\frac{1}{2}\le X \le 1.5)$ sama denga luas daerah yang dibatasai kurva $y=\frac{1}{2}x$, garis $x=\frac{1}{2}$ dan garis $x=1.5$, yaitu
\begin{eqnarray*}
P\left(\frac{1}{2}\le X \le 1.5\right)&=&\int_{1/2}^{1.5} f(x)dx
=\int_{1/2}^{1.5} \frac{x}{2} dx \\
&=&\left. \frac{x^2}{4}\right|_{1/2}^{1.5}=\frac{(1.5)^2}{4}-\frac{(1/2)^2}{4}=\frac{1}{2}.
\end{eqnarray*}
- $F(1)$ sama dengan luas daerah yang dibatasi kurva $y=\frac{x}{2}$, dan garis $x=1$, yaitu
\begin{eqnarray*}
P\left(0\le X \le 1\right)&=&\int_{0}^{1} \frac{x}{2} dx \\
&=&\left. \frac{x^2}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
\end{eqnarray*}
- Nilai harapannya adalah
\begin{eqnarray*}
E(X)&=&\int_0^2 x\cdot f(x)dx=\int_0^2 x\cdot \frac{x}{2}dx\\
&=&\int_0^2 \frac{x^2}{2}dx=\left.\frac{x^3}{6}\right|_0^2=\frac{4}{3}.
\end{eqnarray*}
- Variannya adalah
\begin{eqnarray*}
Var(X)&=&\int_0^2 (x-E(x))^2\cdot f(x) dx \\
&=&\int_0^2 \left(x-\frac{4}{3}\right)^2\frac{x}{2}dx\\
&=&\int_0^2 \left(\frac{x^3}{2}-\frac{4x^2}{3}+\frac{8x}{9}\right)dx\\
&=&\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{9}+\frac{4x^2}{9}\right)\right|_0^2=\frac{20}{9}.
\end{eqnarray*}