Hipotesis Statistik
Hipotesis statistik adalah suatu pernyataan atau klaim tentang parameter populasi. Oleh karena itu suatu hipotesis tidak bisa dipastikan kebenarannya.Uji hipotesis adalah suatu aturan dimana setelah data sampel diperoleh maka akan menuntun kepada diterima atau ditolaknya suatu hipotesis.
Hipotesis nol adalah hipotesis yang akan diuji, dituliskan $H_0$. Hipotesis yang berbeda dengan hipotesis nol dinamakan hipotesis alternatif, dituliskan $H_1$.
Contoh
Misalkan diklaim bahwa rata-rata berat badan mahasiswa UMPR adalah $60$ kg. Untuk membuktikan benar atau tidaknya klaim tersebut, maka perlu diuji.
Hipotesis nolnya adalah "rata-rata berat badan mahasiswa UMPR adalah $60$ kg
Hipotesis alternatifnya, misalnya adalah: "Rata-rata berat badan mahasiswa UMPR tidak sama dengan $60$ kg
Dalam hal ini dituliskan: \[ H_0: \quad \mu=60 \] melawan hipotesis \[H_1: \quad \mu \neq 60.\]
Contoh hipotesis alternatif lainnya misalnya "Rata-rata berat badan mahasiswa UMPR adalah kurang dari $60$ kg.
Dalam hal demikian dituliskan: \[ H_0: \quad \mu=60 \] melawan hipotesis \[H_1: \quad \mu \lt 60.\]
Daerah kritis
$H_0$ dan $H_1$ merupakan pernyataan yang komplementer, sehingga jika kita menerima $H_0$ tentu kita tidak menerima atau menolak $H_1$. Sebaliknya jika kita menolak $H_0$ berarti kita menerima $H_1$.
Untuk menguji hipotests $H_0$ diperlukan data sampel. Misalkan diambil sampel berukuran $n$ yang nilai-nilai observasinya $X_1, X_2, \cdots, X_n$. Perhatikan bahwa $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ merupakan titik pada ruang berdimensi $n$. Nilai-nilai tersebut akan digunakan sebagai dasar diterimanya atau ditolaknya $H_0$. Selanjutnya dibentuk daerah berdimeni $n$ yang dinamakan daerah kritis, dituliskan dengan $C$. Ini berarti uji statistik yang ditentukan oleh daerah kritis adalah \[ \text{terima } H_0 \quad \text{jika} \quad (X_1, X_2, \cdots, X_n) \notin C,\] dan \[ \text{tolak } H_0 \quad \text{jika} \quad (X_1, X_2, \cdots, X_n) \in C.\]
Kesalahan jenis I dan II
Karena data yang digunakan untuk menerima atau menolak suatu hipotesis adalah data sampel, maka tidak dapat dipastikan apakah hipotesis tersebut benar atau salah. Dalam pengambilan kesimpulan, kalaupun ada kesalahan tentu kita berharap kesalahan tersebut sekecil mungkin.
Menolak suatu pernyataan yang benar tentu merupakan suatu kesalahan. Demikian pula, menerima suatu pernyataan yang salah tentu juga merupakan suatu kesalahan.
Kesalahan jenis I adalah ditolaknya $H_0$ padahal $H_0$ benar.
Kesalahan jenis II adalah diterimanya $H_0$ padahal $H_0$ salah.
Tingkat signifikansi suatu uji hipotesis, dituliskan $\alpha$, adalah peluang terjadinya kesalahan jenis I.
Dengan demikian, jika $C$ adalah daerah kritis, maka \[ \alpha=P(H_0 \text{ ditolak padahal } H_0 \text{ benar } ).\]
Uji tentang mean populasi normal
Uji hipotesis $\mu$ dengan $\sigma^2$ diketahui
Diketahui $X_1, X_2, \cdots, X_n$ adalah sampel random dari populasi berdistribusi normal dengan mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$ yang diketahui.
- dihitung \[ z=\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left|\overline{X}-\mu_0\right|\]
- Terima $H_0$ jika $z \leq z_{\alpha/2}$
- Tolak $H_0$ jika $z > z_{\alpha/2}$.
dengan $z_{\alpha/2}$ diperoleh dari tabel normal standar sehingga \[ P(-z_{\alpha/2} \lt Z \lt z_{\alpha/2})=1-\alpha.\]
Contoh
Akan diuji suatu pernyataan bahwa rata-rata jumlah anak per KK di Palangkaraya adalah $3$. Diambil sampel random berukuran $100$ dan diperoleh rata-rata sampel $\overline{x}=2.84$. Jika diketahui $\sigma=0.8$ akan diuji hipotesis tersebut pada tingkat signifikansi $\alpha=0.05$. Dalam hal ini hipotesis yang akan diuji \[ H_0: \mu=3\] melawan hipotesis \[ H_1:\mu \neq 3. \]
Penyelesaian: Berdasarkan tabel normal standar, $z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$.
(Cari dalam tabel nilai $x$ di tabel normal standar sehingga $\Phi(x)=0.975$. Nilai $0.975$ diperoleh dari $1-\alpha/2=1-0.025$).
Selanjutnya \[ z=\frac{\sqrt{n}}{\sigma}\left|\overline{X}-\mu_0\right| = \frac{\sqrt{100}}{0.8}\left|2.84-3\right|=2.0.\] Karena $z=2.0$ dan $ z_{0.025}=1,96$, berarti $z > z_{0.025}$. Dengan demikian $H_0$ ditolak dan disimpulkan bahwa rata-rata banyaknya anak per KK di Palangkaraya tidak sama dengan $3$.
Uji hipotesis dengan $\sigma^2$ tidak diketahui
Dalam situasi yang lebih umum, mean populasi $\mu$ dan varian populasi $\sigma^2$ biasanya tidak diketahui.
- Dihitung: \[ t=\frac{\sqrt{n}}{S}\left|\overline{X}-\mu_0\right|\]
- Terima $H_0$ jika $t \leq t_{\alpha/2,n-1}$
- Tolak $H_0$ jika $t > t_{\alpha/2,n-1}$
dimana $S^2$ adalah varian sampel dan $n$ ukuran sampel.
Contoh
Pemerintah mengklaim bahwa kebutuhan air bersih rata-rata rumah tangga adalah $350$ galon per hari. Untuk membuktikan klaim tersebut, suatu studi terhadap $20$ rumah tangga dilaksanakan dan diperoleh data berikut.
| 340 | 344 | 362 | 375 |
| 356 | 386 | 354 | 364 |
| 332 | 402 | 340 | 355 |
| 362 | 322 | 372 | 324 |
| 318 | 360 | 338 | 370 |
Penyelesaian: Akan diuji hipotesis \[H_0:\mu=350 \quad \textnormal{melawan} \quad H_1: \mu \neq 350.\] Berdasarkan data tersebut dapat dihitung bahwa: \[\overline{X}=353.8 \quad \textnormal{dan} \quad S=21.8478.\] Dengan demikian \[t=\frac{\sqrt{n}}{S}\left|\overline{X}-\mu_0 \right| = \frac{\sqrt{20}}{21.8478}\left|353.8-350\right|=0.7778 \] Berdasarkan tabel $t$ diperoleh $t_{\alpha/2,n-1}=t_{0.05,19}=1.7291$. Dengan demikian $t \lt t_{0.05,19}$, sehingga disimpulkan $H_0$ diterima, yang berarti bahwa klaim pemerintah dapat diterima dengan tingkat signifikansi $10$ persen.
Catatan: untuk mencari nilai $t_{0.05,19}$, cari pada tabel $t$ dengan derajat bebas $r= 19$ dan peluang $\lambda=1-0.05=0.95$.