Estimasi

Data sampel dari suatu populasi dapat digunakan untuk mencari informasi tentang karakter pupulasi. Misalnya, jika mean populasi $\mu$ yang tidak diketahui, maka untuk memperoleh informasi tentang parameter $\mu$ dapat digunakan mean sampel $\bar{x}$. Ini berarti statistik $\bar{x}$ digunakan untuk mengestimasi (meduga) parameter mean populasi $\mu$. Dalam hal ini $\bar{x}$ dinamakan estimator (penduga) untuk $\mu$. Secara umum, estimator untuk parameter populasi $\theta$, ditulis $\hat{\theta}$. Misalnya $\hat{\mu}=\bar{x}$. Estimator titik suatu parameter adalah estimator yang berupa sebuah nilai tunggal. Sebagai contoh, dalam pernyataan ''rata-rata hasil pengukuran kecepatan cahaya adalah $301.000$ km/detik'', nilai tersebut adalah suatu estimator titik. Pada kuliah sebelumnya telah disampaikan bahwa statistik \[\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{n}\] memiliki nilai harapan sama dengan mean populasi $\mu$. Dengan demikian $\overline{X}$ merupakan estimator tak bias untuk parameter $\mu$ . Demikian pula varian sampel \[S^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}{n-1}\] juga merupakan estimator tak bias parameter varian $\sigma^2$ . Selain kriteris tak bias, salah satu kriteria yang sering digunakan dalam estimasi adalah efisiensi. Suatu estimator yang berupa interval dimana parameter diduga berada dinamakan estimator interval. Sebagai contoh, pernyataan "kecepatan cahaya berkisar antara $299.000$ km/detik sampai dengan $305.000$ km/detik", berarti nilai kecepatan cahaya yang sebenarnya dipercaya berada di antara kedua batas interval. Interval kepercayaan untuk suatu parameter adalah suatu inteval dalam mana parameter dipercaya berada. Misalkan $\theta$ adalah parameter yang tidak diketahui nilainya. Untuk membentuk interval kepercayaan $\theta$, perlu dicari statistik $U$ dan $L$ sehingga peluang \[ P(L \leq \theta \leq U)=1-\alpha \] adalah benar. Interval \begin{equation} L \leq \theta \leq U \label{interval} \end{equation} dinamakan interval kepercayaan 100(1-$\alpha$) persen untuk parameter $\theta$. Interval kepercayaan dapat diinterpretasikan sebagai berikut: jika kita mengambil sampel random berulang-ulang, maka $100(1-\alpha)$ persen dari semua nilai data akan memuat nilai $\theta$ yang sebenarnya. Di dalam persamaan ~\ref{interval}, $L$ dan $U$ berturut-turut dinamakan batas bawah dan batas atas interval. Misalnya untuk $\alpha=0.05$, maka persamaan ~\ref{interval} dinamakan interval kepercayaan 95 persen untuk $\theta$. Pada bagian berikut, kita akan belajar membentuk interval kepercayaan untuk paramter mean populasi $\mu$, varian populasi $\sigma^2$ dan selisih dua mean populasi.

Interval kepercayaan $\mu$ dengan $\sigma$ diketahui

Diketahui $X_1, X_2, \cdots, X_n$ adalah sampel random dari populasi berdistribusi normal dengan mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$. Telah disampaikan bahwa $\overline{X}$ merupakan estimator $\mu$. Namun demikian tidak dapat dipastikan bahwa $\overline{X}=\mu$, melainkan hanya dapat dinyatakan bahwa $\mu$ berada di dalam interval tertentu. Seperti telah diketahui di dalam materi sebelumnya bahwa $\overline{X}$ berdistribusi normal dengan mean $\mu$ dan varian $\sigma^2/n$. Oleh karena itu \[\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \] berdistribusi normal standar. Dengan demikian \[ P \left( -B < \frac{(\overline{X}-\mu)}{\sigma / \sqrt{n}} < B \right)=0.95 \] jika $B=1.96$, yaitu \begin{equation} P\left(-1.96<\frac{(\overline{X}-\mu)}{\sigma/\sqrt{n}}<1.96\right)=0.95. \label{confint1} \end{equation} Jika ketiga ruas pada ketaksamaan \[ -1.96<\frac{(\overline{X}-\mu)}{\sigma/\sqrt{n}}<1.96 \] dikalikan $\sigma/\sqrt{n}$ kemudian ditambahkan $\over{X}$, maka diperoleh \[\overline{X}-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}< \mu<\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] Dengan demikian (\ref{confint1}) ekivalen dengan \[ P\left(\overline{X}-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}< \mu<\overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0.95 \] Interval \[\left(\overline{X}-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\quad \overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] dinamakan \textit{interval kepercayaan 95 persen} untuk $\mu$. Dengan cara yang serupa, interval kepercayaan $99$ persen untuk mean populasi $\mu$ adalah \[\left(\overline{X}-2.58 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+2.58\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right). \] Secara umum, interval kepercayaan $(1-\alpha)$ persen untuk mean populasi $\mu$ jika $\sigma$ diketahui adalah \[\left(\overline{X}-z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right). \] Nilai $z_{\alpha/2}$ untuk beberapa tingkat kepercayaan yang sering digunakan adalah Tabel $z_{\alpha/2}$

Tingkat kepercayaan	99.73	99	98	96	95.45	95	90
$z_{\alpha/2}$	3.00	2.58	2.33	2.05	2.00	1.96	1.645

Interval kepercayaan $\mu$ dengan $\sigma$ tidak diketahui

Misalkan $X_1, X_2, \cdots, X_n$ sampel random dari populasi berdistribusi normal dengan $\mu$ dan $\sigma^2$ keduanya tidak diketahui. Dapat dibuktikan bahwa \[\frac{(\overline{X}-\mu) \sqrt{n}}{S}\] berdistribusi $t$ dengan derajat bebas $n-1$. Interval kepercayaan $(1-\alpha)$ persen untuk $\mu$ dapat dibentuk sebagai berikut. \[P\left(-t_{\alpha/2,n-1} < \frac{(\overline{X}-\mu) \sqrt{n}}{S} < t_{\alpha/2,n-1}\right)=1-\alpha\] atau ekivalen dengan \[P\left(\overline{X}-t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha.\]

Interval kepercayaan untuk $\sigma^2$

Diketahui $X_1, X_2, \cdots, X_n$ sampel random dari populasi berdistribusi normal dengan mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$ yang tidak diketahui. Dalam pembahasan sebelumnya tentang distribusi sampling, telah dibuktikan bahwa \[(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\] berdistribusi Chi-square dengan dejarat bebas $n-1$. Interval kepercayaan $(1-\alpha)$ persen untuk $\sigma^2$ dapat dibentuk sebagai berikut. \[P \left(\chi^2_{1-\alpha/2,n-1} <(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}< \chi^2_{\alpha/2,n-1} \right) =1-\alpha \] atau ekivalen dengan \[P\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right)=1-\alpha.\]

Interval kepercayaan selisih dua mean

Dalam suatu penelitian mungkin peneliti ingin membentuk interval kepercayaan selisih dua mean populasi. Misalkan $X_1, X_2, \cdots, X_n$ adalah sampel random dari populasi berdistribusi normal dengan mean $\mu_1$ dan varian $\sigma_1^2$, dan $Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ adalah sampel random dari populasi berdistribusi normal dengan mean $\mu_2$ dan varian $\sigma^2_2$. Akan dibentuk interval kepercayaan selisih kedua mean populasi, yaitu $\mu_1 - \mu_2$. Dari pembahasan sebelumnya $\bar{X}$ berdistribusi normal dengan mean $\mu_1$ dan varian $\sigma_1^2/n$; dan $\bar{Y}$ berdistribusi normal dengan mean $\mu_2$ dan varian $\sigma_2^2/m$. Oleh karena itu $\bar{X}-\bar{Y}$ berdistribusi normal dengan mean $\mu_1-\mu_2$ dan varian $\sigma^2_1/n+\sigma^2_2/m$. Selanjutnya pembahasan akan dibagi menjadi dua, yaitu jika $\sigma^2_1$ dan $\sigma^2_2$ diketahui dan tidak diketahui. Jika $\sigma^2_1$ dan $\sigma^2_2$ diketahui, maka \[ \frac{\bar{X}-\bar{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{m}}}\] berdistribusi normal standar. Dengan demikian diperoleh hasil berikut. Jika varian kedua populasi tidak diketahui, namun nilainya sama, maka dapat digunakan varian sampel, \begin{eqnarray*} s_x^2 = \frac{1}{n-1} \sum_i(x_i-\bar{x})^2 \quad \quad s_y^2 = \frac{1}{m-1} \sum_i(y_i-\bar{y})^2 \\ &\\ s^2_p = \frac{(n-1)s_x^2+(m-1)s^2_y}{n+m-2}. \end{eqnarray*}