Sistem persamaan

Suatu persamaan linear dalam variabel $x$ dan $y$ adalah suatu persamaan berbentuk \begin{equation} \label{pers_lin} ax+by=c \end{equation} dimana $a, b$ dan $c$ bilangan-bilangan real. Bilangan $a$ dan $b$ dinamakan koefisien dan bilangan $c$ dinamakan konstanta. Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut pangkat dari $x$ dan $y$ masing-masing adalah satu dan tidak ada suku hasil kali $xy$.

Contoh

Perhatikan persamaan-persamaan berikut:

$y=2x+1$
$xy-x=5$
$x+y=-3$
$x^2+x-1=y$

Persamaan 1 dan 3 adalah persamaan linear, persamaan 2 bukan persamaan linear karena ada suku hasil hali $xy$, dan persamaan 4 juga bukan persamaan linear karena variabel $x$ tidak berpangkat satu.

Penyelesaian persamaan linear adalah pasangan terurut bilangan $x_0$ dan $y_0$ yang memenuhi persamaan (linear, yakni jika dilakukan substitusi $x=x_0$ dan $y=y_0$ maka berlaku \[ ax_0 + by_0=c \] Pasangan terurut bilangan $x_0$ dan $y_0$ juga dituliskan dengan $(x_0,y_0)$.

Contoh

Diberikan persamaan linear \[x+y=3. \] Pasangan bilangan $(2,1)$ merupakan penyelesaian persamaan linear ini, sebab jika $x$ diganti dengan $2$ dan $y$ diganti dengan $1$ maka kedua ruas bernilai sama, \[ 2+1=3.\] Demikian pula pasangan $(1,2), (0,3)$ dan $(-1,4)$ masing-masing merupakan penyelesaian persamaan linear ini. Sedangkan $(0,1)$ bukan merupakan penyelesaian, sebab \[ 0+1 \neq 3.\]

Pada bidang $xy$, untuk $a\neq 0$ dan $b\neq 0$, grafik persamaan linear $ax+by=c$ berupa garis yang melewati titik $(0,\frac{c}{b})$ dan titik $(\frac{c}{a},0)$.

Contoh

Gambarlah grafik persamaan linear $x+2y=3$ dan jelaskan makna dari penyelesaian persamaan tersebut.

Penyelesaian

Perpotongan garis ini dengan sumbu $x$ terjadi jika $y=0$; yaitu pada titik \[ x+2\cdot 0 = 3, \qquad \text{atau} \qquad x=3,\] sehingga garis ini berpotongan dengan sumbu $x$ di titik $(3,0)$.

Perpotongan garis ini dengan sumbu $y$ terjadi jika $x=0$; yaitu pada titik \[ 0+2y = 3, \qquad \text{atau} \qquad y=\frac{3}{2},\] sehingga garis ini berpotongan dengan sumbu $y$ di titik $(0,\frac{3}{2})$.

Grafik garis ini diperoleh dengan cara menarik garis yang melalui titik $(3,0)$ dan $(0,\frac{3}{2})$ (Gambar ~\ref{garissatu}). Setiap titik yang berada pada garis tersebut merupakan penyelesaian dan sebaliknya setiap penyelesaian merupakan titik pada agaris tersebut.

Perhatikan bahwa jika pasangan bilangan $(x_0,y_0)$ merupakan penyelesaian persamaan tersebut, maka titik $(x_0,y_0)$ berada pada garis $x+2y=3$; sebaliknya setiap titik pada garis tersebut tentu harus memenuhi persamaan tersebut, yang berarti pula bahwa setiap titik pada garis tersebut adalah penyelesaian persamaan liner tersebut. Titik yang tidak berada pada garis tersebut bukan merupakan penyelesaian persamaan linear tersebut, misalnya titik $(1,1)$ tidak berada pada garis tersebut sehingga bukan penyelesaian persamaan linear tersebut.

Setiap persamaan linear dapat direpresentasikan dengan suatu garis, sebaliknya setiap garis merupakan representasi grafik dari suatu persamaan linear.

Titik $(x_0,y_0)$ merupakan penyelesaian persamaan linear $ax+by=c$ jika dan hanya jika titik $(x_0,y_0)$ berada pada garis $ax+by=c$.