Pengertian Fungsi
Diketahui $D$ dan $Y$ himpunan bagian bilangan real. Fungsi dari himpunan $D$ ke himpuan $Y$ adalah
suatu aturan yang menghubungkan
Diberikan himpunan-himpunan $D=\{-1,0,1,2,3\}$ dan $Y=\{0,1,2,3,4,5,9\}$. Fungsi $f$ dari $D$ ke $Y$ dinyatakan dengan \[ f(x)=x^2.\]
Nilai-nilai fungsi tersebut adalah \begin{eqnarray*} f(-1)&=(-1)^2=1\\ f(0)&=0^2=0\\ f(1)&=1^2=1\\ f(2)&=2^2=4\\ f(3)&=3^2=9\\ \end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa nilai fungsi tersebut di $-1$ dan $1$ adalah sama, yakni $f(-1)=f(1)=1$. Rangenya adalah \[ \text{range } f = \{0,1,4,9\}. \]
Dalam pembahasan selanjutnya, jika tidak disebutkan secara khusus, domain fungsi $f$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ sehingga $f(x)$ ada nilainya.
Diketahui $f$ fungsi dengan domain interval $\{x:0 \leq x \leq 5\}$ dengan aturan \[ f(x)= 3x. \] Range $f$ adalah $\{x:0\leq x \leq 15\}$. Nilai fungsi pada beberapa titik misalnya adalah \begin{eqnarray*} f(0)&=& 3 \cdot 0 = 0 \\ f(2)&=& 3 \cdot 2 =6\\ f(0,5)&=& 3 \cdot (0,5) = 1,5\\ f(a)&=& 3a \\ f(a+b)&=& 3(a+b)=3a+3b\\ f(x^2)&=& 3x^2\\ f(t-2)&=& 3(t-2)=3t-6. \end{eqnarray*}
Fungsi $f(t)=\sqrt{t}$ adalah fungsi yang nilainya ada hanya jika $t$ bukan bilangan negatif. Dengan demikian domainya adalah semua bilangan real tidak negatif dan rangenya adalah semua bilangan real tidak negatif, \[\text{domain } f = \{t:t \geq 0\}, \] \[\text{range } f = \{t:t \geq 0\}. \]
Grafik Fungsi
Jika $f$ adalah fungsi dan $a$ anggota domain $f$, maka nilai fungsi di titik $a$ adalah $f(a)$.
Pasangan terurut $a$ dan $f(a)$ dituliskan
\[(a,f(a)). \]
Telah diketahui bahwa pasangan terurut $(a,f(a))$ pada bidang $xy$ menyatakan suatu titik.
Contoh
| x | -2 | -3/2 | -1 | -1/2 | 0 | 1/2 | 1 | 3/2 | 2 | 5/2 | 3 |
| f(x) | 4 | 9/4 | 1 | 1/4 | 0 | 1/4 | 1 | 9/4 | 4 | 25/4 | 9 |
(-2,4), (-3/2,9/4), (-1,1), (-1/2,1/4), (0,0),(1/2,1/4), (1,1),(3/2, 9/4), (2,4),(5/2,25/4) dan (3,9).
Titik-titik ini selanjutnya ditempatkan pada bidang-$xy$, sehingga diperoleh sketsa grafik fungsi seperti gambar di sebalah.
Untuk memperoleh gambar grafik yag lebih baik, jumlah titik-titik $(x,f(x))$ dapat dibuat lebih banyak, sehingga dapat diperoleh grafik seperti di samping berikut.
Fungsi Linear
Grafik fungsi linear berupa garis, konstanta $m$ dinamakan
Substitusi $x=0$ ke persamaan linear, diperoleh $f(x)=c$, sehingga garis tersebut melewati titik $(0,c)$. Dengan demikian intersep merupakan titik dimana garis tersebut berpotongan dengan sumbu $y$.
Grafik fungsi linear $f(x)=2x+3$ berupa garis dengan kemiringan $2$, yang berarti jika $x$ bertambah $1$ satuan maka $f(x)$ bertambah $2$ satuan. Garis ini memiliki intersep $3$, yang berarti garis ini berpotongan dengan sumbu $y$ di titik $(0,3)$.
Diberikan fungsi $f(x) = -\frac{1}{2} x + 1$. Grafik fungsi ini berupa garis dengan kemiringan $-\frac{1}{2}$, yang berarti jika $x$ bertambah $1$ satuan maka $f(x)$ berkurang $\frac{1}{2}$ satuan. Garis ini berpotongan dengan sumbu vertikal pada titik $(0,1)$.
Perhatikan kembali persamaan umum fungsi linear
\[ f(x)=mx+c.\]
Misalkan grafik fungsi ini melalui titik $(x_0,y_0)$ dan $(x_1,y_1)$. Ini berarti
\begin{eqnarray*}
y_0=mx_0+c\\
y_1=mx_1+c.
\end{eqnarray*}
Persamaan kedua dikurangi persamaan pertama menghasilkan
\[y_1-y_0=mx_1-mx_0. \]
Dengan demikian kemiringan garis ini dapat dituliskan
\begin{equation}
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}
\label{slope}
\end{equation}
Karena $y_1-y_0$ adalah perubahan tinggi dan $x_1-x_0$ adalah perubahan maju,
maka persamaan di atas menyatakan bahwa kemiringan garis merupakan perbandingan
Diketahui suatu garis memiliki kemiringan $m$ dan melalui titik $(x_0,y_0)$. Misalkan $(x,y)$ sebarang titik pada garis tersebut. Berlaku \[ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \] dan dapat disusun menjadi
Operasi pada fungsi
- $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
- $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
- $(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$
- $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
- $(f+g)(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{7-x}$, domainnya $[-2,\infty)\cap (-\infty,7]=[-2,7]$
- $(f-g)(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{7-x}$, domainnya $[-2,\infty)\cap (-\infty,7]=[-2,7]$
- $(f\cdot g)(x)=\sqrt{x+2}\sqrt{7-x}$, domainnya $[-2,\infty)\cap (-\infty,7]=[-2,7]$
- $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{7-x}}$, domainnya $[-2,\infty)\cap (-\infty,7]$ dan $x\neq 7$, yaitu $[-2,7)$
- $(f+g)(x)=x^2+2x+\sqrt{x}+x^2=2x^2+2x+\sqrt{x}$, domain $[0,\infty)$
- $(f-g)(x)=(x^2+2x)-(\sqrt{x}+x^2)=2x-\sqrt{x}$, domain $[0,\infty)$
- $(f\cdot g)(x)=(x^2+2x)(\sqrt{x}+x^2)=x^4+2x^3+x^2\sqrt{x}+2x\sqrt{x}$, domain $[0,\infty)$
- $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2+2x}{\sqrt{x}+x^2}$, domain $(0,\infty)$
Fungsi Komposisi
Diketahui nilai fungsi $f$ di $x$ adalah $y$, yakni $y=f(x)$. Jika nilai fungsi $g$ di $y$ adalah $g(y)$, maka dengan mengganti $y=f(x)$, fungsi $g(y)$ dapat dinyatakan dengan \[ g(y)=g(f(x)).\]Demikian pula fungsi komposisi $f \circ g$ didefinisikan \[ (f \circ g) (x) = f(g(x)) \]
Beberapa jenis fungsi
Fungsi konstan
Fungsi Pangkat
Fungsi pangkat adalah fungsi berbentuk
\[f(x) = x^a \]
dengan $a$ konstanta.
Untuk $a=1$,fungsi pangkat dinamakan
Grafik $f(x)=x^a$ dengan $a=-1$ terbagi atas dua bagian dan tidak terdefinisi untuk $x=0$. Bagian pertaman berada pada kuadran pertama, dimana nilai fungsi semakin menuju tak hingga jika $x$ mendekati nol, dan mendekati nol jika $x$ semakin besar. Bagian kedua berada pada kuadrat ketiga dengan pola nilai fungsi semaki kecil untuk $x$ mendekati minus tak hingga dan semakin mendekati minus tak hingga untuk $x$ mendekati nol. Untuk $a=\sqrt{2}$, domainnya adalah semua bilangan real non negatif. Untuk nilai $x$ semakin besar, grafik fungsi $f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}$ naik dan kenaikanya semakin kecil untuk $x$ sebakin besar.
Fungsi Polinom
Fungsi polinom adalah fungsi yang dapat dinyatakan dengan
\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \]
dengan $n$ bilangan bulat tidak negatif dan $a_0,a_1, \cdots , a_n$ konstanta.
Jika $a_n \neq 0$ maka fungsi polinom tersebut dinamakan polinom berderajat $n$ .
Sebagai contoh,
- Fungsi $f(x) =\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x+1$ merupakan polinom berderajat $3$
- fungsi $f(x) = x^4-3x^3-9x^2+4x-1$ merupakan polinom berderajat $4$.
Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk
\[ f(x) =\frac{p(x)}{q(x)} \]
dengan $p(x)$ dan $q(x)$ polinom, dan $q(x)\neq 0$.
Sebagai contoh, fungsi
$$f(x) = \frac{x^3+1}{x-1}$$
merupakan fungsi rasional.
Perhatikan bahwa domain fungsi ini adalah semua bilangan real selain $1$,
pada titik $x=1$ fungsi ini tidak terdefinisi.
Grafik fungsi ini dapat dilihat pada gambar di samping.
Tes formatif
- Fungsi $f(x) =\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x+1$ merupakan polinom berderajat $3$
- fungsi $f(x) = x^4-3x^3-9x^2+4x-1$ merupakan polinom berderajat $4$.