Sistem Bilangan Real
Bilangan Real dan Garis Real
Dalam bagian ini akan diperkenalkan himpunan bilangan real beserta operasi jumlahan dan perkalian. Sifat urutan bilangan real diperkenalkan agar bisa dikembangkan pengertian interval. Representasi bilangan real sebagai suatu garis lurus dikembangkan sistem koordinat siku-siku sebagai pasangan bilangan real. Bilangan real adalah bilangan yang dapat diekspresikan sebagai desimal, misalnya \begin{align*} \frac{1}{3}&=0,33333\cdots \\ - \frac{3}{4}&=-0,75000\cdots \\ \sqrt{2}&=1,4142\cdots\\ 2&=2,000\cdots\\ \end{align*} Setiap desimal merepresentasikan satu bilangan real. Sebaliknya, suatu bilangan real bisa memiliki dua representasi desimal, misalnya \[ 0,999 \cdots \quad \text{dan} \quad 1,000\cdots \] merupakan representasi bilangan $1$. Bilangan real mencakup bilangan-bilangan berikut:- bilangan asli, yaitu bilangan-bilangan $1,2,3,\cdots$,
- bilangan bulat (integer), yaitu bilangan-bilangan $\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots$,
- bilangan rasional, yaitu bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dengan $ \frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $ b \neq 0 $, misalnya $\frac{1}{2}, -\frac{3}{7}$ dan sebagainya.
- bilangan irrasional, yaitu semua bilangan real yang bukan bilangan rasional. Contoh bilangan irrasional $\sqrt{2}$, $\pi=3,14159265358979 \cdots$ dan $e=2,71828182845905\cdots$.
Penyajian bilangan melalui himpunan
Penyajikan bilangan real dapat dilakukan dengan himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan secara jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan anggota atau elemen himpunan. Untuk mempersingkat notasi, himpunan dituliskan dengan abjad kapital seperti $A, B, C$ dan sebagainya; anggota himpunan ditulis dengan abjad seperti $a,b,c,x,y$ dan sebagainya. Jika $x$ adalah anggota himpunan $A$, maka dituliskan \[ x \in A \] dan jika $x$ bukan anggota $A$, maka dituliskan \[x \notin A\] Untuk menuliskan himpunan yang memuat anggota-anggotanya dapat dilakukan dengan mendaftar semua anggotanya di dalam kurung kurawal "$\{$" dan "$\}$" dan anggota yang berbeda dipisah dengan tanda koma.Contoh
- Jika $B$ adalah himpunan semua bilangan bulat potitif yang lebih kecil dari $7$, maka $B$ dapat dituliskan \[ B=\{1,2,3,4,5,6\} \] Jelas bahwa $3 \in B$, sedangkan $ -2 \notin B$. Demikian pula $\frac{1}{2} \notin B$.
- Jika $C$ adalah himpunan semua bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan $10$, maka dapat dituliskan sebagai \[ C=\{2,4,6,8,10 \}\]
Contoh
Himpunan-himpunan pada contoh sebelumnya dapat dituliskan sebagai- $B=\{x:x \text{ lebih kecil } 7, x \text{ bulat positif}\}$
- $C=\{x: x \text{ lebih besar } 0 \text{ lebih kecil sama dengan } 10 \text{ dan } x \text{ genap}\}$
Operasi pada bilangan real
Pada himpunan bilangan real dikenal dua operasi aljabar, yaitu operasi jumlahan dan operasi perkalian
Operasi jumlahan. Jumlah bilangan real $a$ dan $b$ dituliskan $a+b$, memenuhi sifat-sifat:
- Jumlah dua bilangan real adalah bilangan real.
- $a+b=b+a$
- $a+(b+c)=(a+b)+c$
- $a+0=0+a=a$
- Negatif dari $a$ ditulis $-a$ dan berlaku $a+(-a)=0$
Sifat (i) menyatakan bahwa operasi jumlahan bersifat tertutup; sifat (ii) dinamakan sifat komutatif yang menyatakan bahwa pada operasi penjumlahan bisa diubah urutannya.
Bilangan $0$ dinamakan elemen
Bilangan $a$ ditambah negatif $b$, yakni $a+(-b)$, ditulis $a-b$ dan dibaca $a$ dikurangi $b$, dengan kata lain, $a-b$ adalah $a$ ditambah negatif $b$; jadi \[ a-b=a+(-b). \] Di dalam matematika, operasi yang berada di antara kurung buka "(" dan kurung tutup ")" dilaksanakan terlebih dahulu. Misalnya $2+(6+7)$ maksudnya adalah dihitung terlebih dahulu $6+7$ kemudian hasilnya ditambah dengan $2$.
Contoh
- $2+5=5+2=7.$
- $7+(3+19)=(7+3)+19=10+19=29$.
- $6+0=0+6=6$.
- $5-5=5+(-5)=0$.
- $9-4=5+4-4=5+(4-4)=5+0=5$.
Operasi perkalian Perkalian bilangan $a$ dan $b$ dituliskan $a\cdot b$ atau $ab$, memenuhi sifat-sifat:
- Hasil kali dua bilangan real adalah bilangan real.
- $a \cdot b = b \cdot a$
- $a\cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
- $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$
- Jika $a \neq 0$, maka ada bilangan real $a^{-1}$ sehingga berlaku $a \cdot a^{-1}=1$.
Sifat (i) menyatakan bahwa operasi perkalian bilangan real adalah tertutup, sifat (ii) dinamakan sifat komutatif,
sifat (iii) dinamakan sifat distributif.
Bilangan $1$ pada (iv) dinamakan elemen
Contoh
- $3\cdot 5 =15$.
- $3 \cdot \frac{1}{3}=1$.
- $10=5 \cdot 2$.
- $ 10 \cdot \frac{1}{2}=5 \cdot \left( 2 \cdot \frac{1}{2}\right) =5 \cdot 1 = 5$
- $ 16 \cdot 2^{-1}= \frac{16}{2}=8$.
Sifat-sifat operasi jumlahan dan perkalian
Diberikan bilangan-bilangan real $a,b,c$. Berlaku sifat-sifat berikut.- Sifat distributif: $a(b+c)=ab+ac$.
- $(-a)\cdot b=-(ab)$, khususnya $(-1) \cdot (b)=-b$.
- $(-a) \cdot (-b) = ab.$
- $-(a+b)=-a-b$.
- $-(-a)=a$
Contoh
- $ 4\cdot (-3) = - (4 \cdot 3) =-12.$
- $(-3)\cdot (-5)=3 \cdot 5 =15$.
- $3-7=3-(3+4)=3-3-4=(3-3)-4=0-4=0+(-4)=-4$.
- $(9\cdot 3)+(9\cdot 7) =9\cdot(3+7)=9 \cdot 10=90$.
- $-(-2)=2$ dan $-(-(-5))=-5$.
Penyelesaian persamaan
Suatu iilangan yang jika dimasukan ke dalam suatu persamaan menjadikan persamaan tersebut benar dinamakan
Aturan mencari penyelesaian persamaan:
- Jika $a+x = b$ maka $x = b-a$
- Jika $a x = b$ maka $x = \frac{b}{a}$ dengan $a\ne 0$.
Contoh
Carilah penyelesaian persamaan berikut:- $5+x=9$
- $3 \cdot y=12$
- $3x-12=0$.
- Penyelesaian persamaan $5+x=9$ adalah \[x=9-5=4.\]
- Penyelesaian persamaan $3 \cdot y=12$ adalah \[y=\frac{12}{3}=4.\]
- Penyelesaian persamaan $3x-12=0$ dapat dicari melalui langkah-langkah berikut:
\begin{align*} 3x-12&=0 \\ 3x&=12 \qquad \text{(tambahkan kedua ruas dengan 12)} \\ x&=\frac{12}{3} \qquad \text{(bagi kedua ruas dengan 3)} \\ &=4,\\ \end{align*}sehingga penyelesaian persamaan ini adalah $x=4$.
Pangkat bulat bilangan real
Diketahui $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat tidak negatif. Bilangan $a$ dapat dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak $n$ kali, yakni \[ \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ kali}}.\]
Untuk bilangan bulat tak negatif $n$ didefinisikan
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
a^n = a\cdot a \cdots a, \\
a^0=1.
\end{array}
\end{equation}
Notasi $a^n$ dibaca $a$ pangkat $n$.
Contoh
- $ 2^5=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32.$
- $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$.
- $17^0=1$.
- $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
- $(-1)^2=(-1)\cdot(-1)=1$.
- $(-1)^3=(-1)\cdot(-1) \cdot (-1)=-1$.
- $-1^2=-(1^2)=-1$.
Jika $a \neq 0$ dan $n$ bilangan bulat tidak negatif, maka
\begin{equation}
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
\end{equation}
Contoh
- $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.
- $ 2^{-5}=\frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}.$
- $3\cdot 2^{-4}=3 \cdot \frac{1}{2^4}=3\cdot \frac{1}{16}=\frac{3}{16}$.
Akar bilangan real
Diketahui $x$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat. Akar $n$ dari $x$ dituliskan $\sqrt[n]{x}$ atau $x^{\frac{1}{n}}$, didefinisikan
\begin{equation}
\sqrt[n]{x}=y \qquad \text{jika dan hanya jika} \qquad y^n=x.
\end{equation}
Akar $2$ dari $x$ biasa dituliskan $\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$.
Contoh
- $\sqrt{9}=3$, sebab $3^2=9$.
- $ \sqrt[5]{32}=2$, sebab $2^5=32$.
- $\sqrt[4]{81}=3$, sebab $3^4=81$.
- $16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$, sebab $4^2=16$.
- $64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4$, sebab $4^3=64$.
Jika $m$ dan $n$ bilangan bulat dengan $n\neq0$, maka
\begin{equation}
\displaystyle x^{\frac{m}{n}}=\left(x^m\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x^m}
\end{equation}
Contoh
\[4^{\frac{3}{2}}=\left(4^3\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{4^3}=\sqrt{64}=8.\]
Jika $p$ dan $q$ bilangan rasional, maka berlaku
- $\displaystyle a^p\cdot a^q=a^{p+q}$
- $\displaystyle \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$
- $\displaystyle a^p\cdot b^p=(ab)^p$
Contoh
- $\displaystyle 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}}=2^3=8$
- $\displaystyle \frac{5^3}{5^2}=5^{3-2}=5$.
- $\displaystyle 3^2\cdot 5^2=(3\cdot 5)^2=15^2=225$.
- $\displaystyle \frac{6^2}{2^3}=\frac{(2\cdot 3)^2}{2^3}=\frac{2^2\cdot 3^2}{2^3}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$.
Kuadrat jumlah dua bilangan
Dengan menerapkan sifat distributif, \begin{equation*} \begin{array}{ll} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=a(a+b)+b(a+b)\\ &=a^2+ab+ab+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{array} \end{equation*}
\[ \boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\]
Dengan menerapkan hasil tersebut untuk $a=x$ dan $b=-y$, diperoleh
\[\boxed{(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}\]
Contoh
- $(x+3)^2=x^2+6x+9$
- $(x-5)^2=x^2-10x+25$
Contoh
Uraikan ekspresi $(x+y-z)^2$.
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
(x+y-z)^2&=[(x+y)-z]^2\\
&=(x+y)^2-2(x+y)z+z^2\\
&=x^2+2xy+y^2-2xz-2yz+z^2\\
&=x^2+y^2+z^2+2xy-2xz-2yz.
\end{array}
\end{equation*}
Contoh
Uraikan ekspresi $(x+2)^3$.
\begin{align*}
(x+2)^3&=(x+2)(x+2)^2\\
&=(x+2)(x^2+2x+4)\\
&=x(x^2+2x+4)+2(x^2+2x+4)\\
&=x^3+2x^2+4x+2x^2+4x+8\\
&=x^3+4x^2+4x+8.
\end{align*}
Contoh
Uraikan ekspresi $(2x-1)^2$.
\begin{align*}
(2x-1)^2&=(2x)^2-2(2x)(-1)+(-1)^2\\
&=4x^2-4x+1.
\end{align*}
Contoh
Uraikan ekspresi $\displaystyle \left(\frac{x}{3}-2\right)^2$.
\begin{align*}
\left(\frac{x}{3}-2\right)^2&=\left(\frac{x}{3}\right)^2+2\cdot \frac{x}{3} (-2)+(-2)^2\\
&=\frac{x^2}{9}-\frac{4}{3}x+4.
\end{align*}
Mencari faktor persamaan kuadrat
Persamaan berbentuk $x^2+bx+c=d$ dengan $b,c$ dan $d$ konstanta, dinamakan persamaan kuadrat. Misalkkan bentuk kuadrat $x^2+bx+c$ dapat difaktorkan menjadi $(x+s)(x+t)$. Ini berarti
\begin{align*}
x^2+bx+c&=(x+s)(x+t)\\
&=x(x+t)+s(x+t)\\
&=x^2+tx+sx+st\\
&=x^2+(s+t)x+st,
\end{align*}
Dengan membandingkan koefisien-koefisien ruas pertama dan terakhir diperoleh
\[ b=s+t \quad \text{dan} \quad c=st.\]
Contoh
Faktorkan $x^2+4x+3$Dari persamaan ini, $s+t=4$ dan $st=3$. Oleh karena itu $s=1$ dan $t=3$. Dengan demikian \[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Contoh
Faktorkan $x^2-5x+6$.Disini $s+t=-5$ dan $st=6$. Oleh karena itu $s=-2$ dan $t=-3$. Dengan demikian \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
Mencari penyelesaian persamaan kuadrat
Contoh
Carilah penyelesaian persamaan $x^2-4x+3=0$.Perhatikan bahwa \[ x^2-4x+3= (x-1)(x-3).\] Oleh karena itu
\[ x^2-4x+3=0 \iff (x-1)(x-3)=0.\]
Persamaan $(x-1)(x-3)=0$ jika
\[ x-1=0 \quad \text{atau}\quad x-3=0.\]
Dengan demikian penyelesaiannya adalah $x=1$ atau $x=3$.
Contoh
Carilah penyelesaian persamaan $x^2-9=0$.Perhatikan bahwa $x^2-9=(x+3)(x-3)$. Oleh karena itu \begin{align*} x^2-9=0 \iff (x+3)(x-3)=0. \end{align*} Jadi penyelesaiannya adalah $x=-3$ atau $x=3$.
Contoh
Carilah penyelesaian persamaan $3x^2+3x-6=0$.Perhatikan bahwa $3x^2+3x-6=(3x-3)(x+2)$. Oleh karena itu
\begin{align*}
3x^2+3x-6=0& \iff (3x-3)(x+2)=0\\
&\iff 3x-3=0 \quad \text{atau} \quad x+2=0.
\end{align*}
Dengan demikian penyelesaiannya adalah $x=1$ atau $x=-2$.
Menyederhanakan
Contoh
Ubahlah berikut menjadi bentuk yang paling sederhana:- $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$.
- $\displaystyle \frac{x^2-6x+8}{x-2}$.
- $\displaystyle \frac{x^3-3x^2+3x-1}{(x-1)^2}$
- $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.
- $\displaystyle \frac{x^2-6x+8}{x-2}=\frac{(x-4)(x-2)}{x-2}=x-4$.
- $\displaystyle \frac{x^3-3x^2+3x-1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^3}{(x-1)^2}=x-1$.
Urutan dan interval
Telah diketahui bahwa himpunan semua bilangan real dapat digambarkan dengan garis real. Dua titik berbeda pada garis real tentu selalu dapat diurutkan. Bilangan real $a$ dikatakan lebih kecil dari bilangan $b$, dituliskan $a < b$ jika \[ b-a>0.\] Pada garis real, pernyataan $a < b$ berarti posisi $a$ di sebelah kiri $b$. Pernyataan $a$ lebih kecil dari $b$ juga sama dengan pernyataan $b$ lebih besar dari $a$, dan dituliskan $b>a$.
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real, maka satu dan hanya satu pernyataan berikut berlaku:
\[ a < b, \qquad a=b, \qquad b < a \]
Contoh
- $1 < 5$,
- $-2 < 3$,
- $-\frac{1}{2} < 0$, dan
- $-5 < 2$.
Contoh
- $\frac{1}{2} \le 3$ dapat pula dituliskan dengan $3 \ge \frac{1}{2}$
- $-\frac{3}{4} > -\frac{7}{3}$ dapat pula dituliskan dengan $ -\frac{7}{3} < -\frac{3}{4}$.
- Jika $a < b$, maka $a+c < b+c$.
- Jika $a \leq b$ dan $c\geq 0$, maka $ac \leq bc$
- Jika $a < b$ dan $c < 0$, maka $ac > bc$
Contoh
Dapat diperiksa kebenaran pernyataan berikut:- Telah diketahui bahwa $-2 < 3$. Oleh karena itu jika kedua ruas ditambahkan dengan $5$, maka $-2+5 < 3+5$ atau disederhakan menjadi $3<8$.
- Pada ketaksamaan $2 < 4$ jika kedua ruas dikalikan dengan $3$, maka $ 2 \cdot 3 < 4 \cdot 3$ atau disederhakan menjadi $6 < 12$.
- Pada ketaksamaan $ 1 < 3$ jika kedua ruang dikalikan dengan $-2$, maka $1 \cdot(-2) > 3 \cdot (-2)$ atau disederhakan menjadi $-2> -6$.
Interval
Interval atau selang adalah himpunan semua bilangan real yang terletak antara dua bilangan real. Jika $a < b$, maka bisa dibentuk beberapa jenis interval. Segmen garis berwana merah pada grafik di bawah setiap interval berikut, merupakan representasi inverval tersebut.- Interval terbuka $(a,b)=\{x:a < x < b\}$
- Interval tertutup $[a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}$
- Interval setengah terbuka $(a,b]=\{x:a < x\leq b\}$
- Interval setengah terbuka $[a,b)=\{x:a\leq x < b\}$
Contoh
Interval $(0,1]=\{x:0 < x\leq 1\}$ menyatakan himpunan semua bilangan yang lebih besar $0$ dan lebih kecil atau sama dengan $1$..jpg)
Contoh
Diketahui interval-interval $I=(0,3]=\{x:0 < x \leq 3\}$ dan $J=[-1,1]=\{x:-1 \leq x \leq 1\}$. Dapat diperiksa bahwa
\begin{eqnarray*}
I \cup J &=& \{x:-1\leq x \leq 3\}=[-1,3] \qquad \text{dan} \\
I \cap J &=& \{x: 0 < x \leq 1\}=(0,1]
\end{eqnarray*}
Union dan irisan kedua interval digambarkan sebagai berikut.
Interval-interval yang terkait dengan tak hingga.
- Interval $[a,\infty)=\{x:a\le x\}$
- Interval $(-\infty,b]=\{x:x\le b\}$
- Interval $(a,\infty)=\{x:a< x\}$
- Interval $(-\infty,b)=\{x:x< b\}$
Contoh
-
Interval $[1,\infty)$ menyatakan himpunan semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan $1$, yakni
\[ [1,\infty)=\{x:1\le x \},\]
atau digambarkan dengan
- Interval $(-\infty, \frac{1}{2})$ menyatakan himpunan semua bilangan yang lebih kecil $\frac{1}{2}$, yakni
\[ \left(-\infty, \frac{1}{2}\right)=\left\{x:x <\frac{1}{2}\right\},\]
atau digambarkan dengan
Mencari penyelesaian ketaksamaan
Pencarian penyelesaian ketaksamaan dapat dikerjakan dengan cara merubah ketaksamaan sehingga ketaksamaan tersebut menjadi jelas yang dapat ditempuh dengan cara:- Setiap ruas ditambahkan dengan bilangan yang sama.
- Setiap ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama.
- Setiap ruas dikalikan dengan bilangan negatif yang sama kemudian membalik tanda ketidaksamaannya.
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $5x-7 < 3x-2$ dan gambarkan grafik himpunan penyelesaiannya.
\begin{eqnarray*}
5x-7 < 3x-2\\
5x < 3x+5 &\text{(kedua ruas ditambah 7)}\\
2x < 5 &\text{(kedua ruas ditambah $-3x$)}\\
x < \frac{5}{2}&\text{(kedua ruas dikali $\frac{1}{2}$)}
\end{eqnarray*}
Dengan demikian penyelesaiannnya adalah $\{x: x < \frac{5}{2}\}$. Grafik himpunn penyelesaiannya adalah
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $3x+4 < 5x-6$.
\begin{eqnarray*}
3x+4 < 5x-6&\\
3x < 5x-10& \text{(setiap ruas ditambah $-4$)}\\
-2x < -10&\text{(setiap ruas ditambah $-5x$)}\\
x > 5&\text{(setiap ruas dikali $-\frac{1}{2}$)}
\end{eqnarray*}
Perhatikan bahwa pada baris terakhir, ketaksamaan berubah menjadi $>$, ini dikarenakan perkalian dengan bilangan negatif. Grafik himpunan penyelesaiannya adalah
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $-2 < 3x+4 < 7$.Perhatikan bahwa ada tiga ruas pada ketaksamaan ini.
\begin{eqnarray*}
-2 < 3x+4 < 7 & \text{(tambahkan setiap ruas dengan $-4$)}\\
-6 < 3x < 3 & \text{(kalikan setiap ruas dengan $\frac{1}{3}$)}\\
-2 < x < 1
\end{eqnarray*}
Penyelesaiannya adalah $\{x:-2 < x < 1\}$, atau digambarkan dengan
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $x^2-x < 2$.
\begin{eqnarray*}
& x^2-x < 2 &\\
\iff & x^2-x-2 < 0 &\text{(setiap ruas ditambah $-2$)}\\
\iff &(x+1)(x-2) < 0 &\text{(difaktorkan)}
\end{eqnarray*}
Selanjutnya $(x+1)(x-2)=0$ jika $x=-1$ atau $x=2$.
Untuk mencari penyelesaianya digunakan bantuan grafik berikut.
Cara menentukan tanda $+$ dan $-$ di atas setiap garis tersebut adalah sebagai berikut.
- Garis pertama, untuk $x < -1$ diperoleh $x-1 < 0$ (negatif), sehingga dikiri $-1$ tandanya $-$. Sedangkan untuk $x > -1$ diperoleh $x-1>0$ (positif), sehingga di kanan $-1$ tandanya $+$.
- Tanda pada garis kedua diperoleh dengan cara serupa seperti garis pertama
- Tanda untuk garis ketiga diperoleh dengan mengalikan tanda garis pertama dan kedua. Misalnya untuk $-1 < x < 2$, garis pertama bertanda $+$ dan garis kedua bertanda $-$, sehingga hasil kalinya bertanda $-$.
Nilai mutlak
Nilai mutlak (absolut) bilangan real $x$ dituliskan $|x|$, didefinisikan
\begin{equation}
|x| =
\begin{cases}
x & \text{jika $x\ge 0$}\\
-x & \text{jika $x < 0$}
\end{cases}
\end{equation}
Berdasarkan definisi, nilai mutlak suatu bilangan real merupakan bilangan tidak negatif.
Nilai mutlak bilangan real menyatakan panjang garis dari titik $0$ ke bilangan real tersebut.
Contoh
- $|4|=4$
- $|-3|=-(-3) = 3$
- $|0|=0$
- $|6-4|=|2|=2$
- $|4-6|=|-2|=-(-2)=2$
- $|ab|=|a||b|$
- $\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$
- $|a+b| \le |a|+|b|$ (ketaksamaan segitiga)
- $|a-b| \ge ||a|-|b||$
Contoh
- $|2\cdot (-3)|=|2|\cdot |-3|=2\cdot 3 =6$
- $\displaystyle \left|\frac{-4}{3}\right|=\frac{|-4|}{|3|}=\frac{4}{3}$
- $|5-3|\le |5|+|3|$
- $|7-4|\ge||7|-|4||$.
Secara geometris, $|a-b|$ menyatakan jarak antara titik $a$ dengan titik $b$ di garis real.
Khusunya $|a|$ menyakanan jarak titik $a$ dengan titik $0$, sebab $|a|=|a-0|$.
Sebagai contoh, $|a|=2$ menyatakan jarak $a$ dengan $0$ adalah $2$; jadi $a$ bisa bilangan $2$ atau $-2$.
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $|x|<2$.Di dalam soal ini, akan dicari nilai-nilai $x$ sehingga nilai mutlaknya kurang dari $2$.
Berdasarkan Teorema 2
\[ |x| < 2 \iff -2 < x < 2.\]
Dengan demikian penyelesaiannya adalah interval $(-2,2)=\{x:-2 < x < 2\}$, yang dapat digambarkan dengan
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $|x-4|<1$. Berdasarkan Teorema 2,
\begin{eqnarray*}
x-4 < 1 & \iff -1 < x-4 < 1\\
&\iff -1+4 < x < 1+4 \\
&\iff 3 < x < 5.
\end{eqnarray*}
Dengan demikian penyelesaiannya adalah interval
\[ (3,5)=\{x:3 < x < 5\},\]
atau digambarkan dengan
Untuk $a > 0$ berlaku \begin{equation} \label{ineqg} |x| > a \iff x < -a \quad \text{atau} \quad a < x \end{equation}
Contoh
Carilah penyelesaian ketaksamaan $|x-2|>1$.Berdasarkan Teorema 3,
\begin{eqnarray*}
|x-2|>1 \iff x-2<-1 \quad \text{atau} \quad 1 < x-2\\
\iff x < 1 \quad \text{atau} \quad
3 < x
\end{eqnarray*}
Dengan demikian penyelesaiannnya adalah
\[ (-\infty, 1) \cup (3,\infty).\]