Sistem persamaan
Suatu persamaan linear dalam variabel $x$ dan $y$ adalah suatu persamaan berbentuk
\begin{equation}
\label{lin_eq}
ax+by=c
\end{equation}
dimana $a, b$ dan $c$ bilangan-bilangan real.
Bilangan $a$ dan $b$ dinamakan koefisien dan bilangan $c$ dinamakan konstanta.
Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut pangkat dari $x$ dan $y$ masing-masing adalah satu dan tidak ada suku hasil kali $xy$.
Contoh
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
- $y=2x+1$
- $xy-x=5$
- $x+y=-3$
- $x^2+x-1=y$
Persamaan 1 dan 3 adalah persamaan linear, persamaan 2 bukan persamaan linear karena ada suku hasil hali $xy$, dan persamaan 4 juga bukan persamaan linear karena variabel $x$ tidak berpangkat satu.
Penyelesaian persamaan linear (\ref{lin_eq}) adalah pasangan terurut bilangan $x_0$ dan $y_0$ yang memenuhi persamaan linear tersebut,
yakni jika disubstitusikan $x=x_0$ dan $y=y_0$ maka berlaku
\[
ax_0 + by_0=c
\]
Pasangan terurut bilangan $x_0$ dan $y_0$ juga dituliskan dengan $(x_0,y_0)$.
Contoh
Diberikan persamaan linear
\[x+y=3. \]
Pasangan bilangan $(2,1)$ merupakan penyelesaian persamaan linear ini, sebab jika $x$ diganti dengan $2$ dan $y$ diganti dengan $1$ maka kedua ruas bernilai sama,
\[ 2+1=3.\]
Demikian pula pasangan $(1,2), (0,3)$ dan $(-1,4)$ masing-masing merupakan penyelesaian persamaan linear ini.
Sedangkan $(0,1)$ bukan merupakan penyelesaian, sebab
\[ 0+1 \neq 3.\]
Grafik Persamaan Linear
Pada bidang $xy$, untuk $a\neq 0$ dan $b\neq 0$, grafik persamaan linear $ax+by=c$ berupa garis yang melewati titik $(0,\frac{c}{b})$ dan titik $(\frac{c}{a},0)$.
Contoh
Gambarlah grafik persamaan linear $x+2y=3$ dan jelaskan makna dari penyelesaian persamaan tersebut.
Penyelesaian
Perpotongan garis ini dengan sumbu $x$ terjadi jika $y=0$; yaitu pada titik
\[ x+2\cdot 0 = 3, \qquad \text{atau} \qquad x=3,\]
sehingga garis ini berpotongan dengan sumbu $x$ di titik $(3,0)$.
Perpotongan garis ini dengan sumbu $y$ terjadi jika $x=0$; yaitu pada titik
\[ 0+2y = 3, \qquad \text{atau} \qquad y=\frac{3}{2},\]
sehingga garis ini berpotongan dengan sumbu $y$ di titik $(0,\frac{3}{2})$.
Grafik garis ini diperoleh dengan cara menarik garis yang melalui titik $(3,0)$ dan $(0,\frac{3}{2})$ (Gambar (\ref{garissatu}).
Setiap titik yang berada pada garis tersebut merupakan penyelesaian dan sebaliknya setiap penyelesaian merupakan titik pada agaris tersebut.
Perhatikan bahwa jika pasangan bilangan $(x_0,y_0)$ merupakan penyelesaian persamaan tersebut, maka titik $(x_0,y_0)$ berada pada garis $x+2y=3$; sebaliknya setiap titik pada garis tersebut tentu harus memenuhi persamaan tersebut, yang berarti pula bahwa setiap titik pada garis tersebut adalah penyelesaian persamaan liner tersebut.
Titik yang tidak berada pada garis tersebut bukan merupakan penyelesaian persamaan linear tersebut, misalnya titik $(1,1)$ tidak berada pada garis tersebut sehingga bukan penyelesaian persamaan linear tersebut.
Setiap persamaan linear dapat direpresentasikan dengan suatu garis, sebaliknya setiap garis merupakan representasi grafik dari suatu persamaan linear.
Titik $(x_0,y_0)$ merupakan penyelesaian persamaan linear $ax+by=c$ jika dan hanya jika titik $(x_0,y_0)$ berada pada garis $ax+by=c$.
Sistem persamaan linear dua variabel
Suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel $x$ dan $y$ dan dua persamaan \index{sistem persamaan linear 2 variabel} adalah sistem yang berbentuk
\begin{equation}
\label{spl2}
\begin{array}{lll}
ax+by=e \\
cx+dy=f
\end{array}
\end{equation}
bilangan $a,b,c,d$ dinamakan koefisien dan $e$ dan $f$ diamakan konstanta.
Pasangan terurut bilangan $(x_0,y_0)$ dinamakan Penyelesaianaian sistem persamaan linear (\ref{spl2}) jika $(x_0,y_0)$ merupakan Penyelesaianaian setiap persamaan linear pada sistem persamaan linear (\ref{spl2}.
Contoh
Diberikan sistem persamaan linear
\[
\begin{array}{lll}
x+2y=1 \\
x+3y=2
\end{array}
\]
Pasangan bilangan $(-1,1)$ adalah Penyelesaianaian sistem persamaan linear ini, karena $(-1,1)$ merupakan Penyelesaianaian setiap persamaan pada sistem persamaan linear tersebut, yang dapat diperiksa sebagai berikut
\[
\begin{array}{lll}
-1+2\cdot 1 =1 \\
-1+3\cdot 1=2
\end{array}
\]
Dalam hal ini Penyelesaianaian sistem persamaan linear tersebut dituliskan dengan $x=-1$ dan $y=1$.
Anda bisa memeriksa bahwa $(0,0)$ dan $(1,-1)$ bukan merupakan Penyelesaianaian sistem persamaan linear ini.
Demikian pula pasangan bilangan lainnya selain $(-1,1)$ juga bukan Penyelesaianaian sistem persamaan linear ini.
Di sekolah lanjutan telah diperkenalkan cara mencari penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode
eliminasi dan
substitusi.
Dengan motivasi tersebut akan dikembangkan metode yang lebih umum untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear.
Prinsip dalam metode eliminasi dan substitusi adalah pertama kita eliminasi (menghilangkan) satu dari dua variabel
sehingga diperoleh Penyelesaianaian salah satu variabel; kemudian hasilnya digunakan (dengan cara substitusi)
untuk mencari Penyelesaianaian variabel lainnya.
Contoh
Carilah Penyelesaianaian sistem persamaan linear berikut
\[
\begin{array}{rrr}
2x+y=3 \\
x+y=1
\end{array}
\]
Penyelesaian
Untuk mempermudah, persamaan pertama dan kedua beruturut-turut beri label $B1$ (baris 1) dan $B2$ (baris 2),
\[
\begin{array}{crrr}
B1:& 2x+y=3 \\
B2:& x+y=1
\end{array}
\]
Baris pertama dikurangi baris kedua ($B1-B2$):
\[
\begin{array}{lrrr}
B1:& 2x+y=3 \\
B2:& x+y=1\\
\hline
B1-B2:& x+0=2
\end{array}
\]
Dari baris terakhir diperoleh $x=2$.
Substitusi $x=2$ ke dalam satu dari kedua persamaan, misalnya ke dalam $B2$,
\[
\begin{array}{lrll}
& 2+y&=1\\
\text{atau}& y&=1-2\\
&&=-1.
\end{array}
\]
Jadi Penyelesaianaian sistem persamaan linear tersebut adalah $x=2$ dan $y=-1$, atau ditulis $(2,-1)$.
Contoh
Carilah Penyelesaianaian sistem persamaan linear
\[
\begin{array}{lrrr}
B1:& x-3y=2 \\
B2:& 2x-4y=1
\end{array}
\]
Penyelesaian
Untuk mencari Penyelesaianaian sistem ini, dapat ditempuh misalnya dengan mengeliminasi variabel $x$, yaitu dengan cara mengalikan baris pertama dengan $2$ lalu hasilnya dikurangkan dengan baris kedua ($2B1-B2$),
\[
\begin{array}{lrrr}
2B1:& 2x-6y=4 \\
B2:& 2x-4y=1\\
\hline
2B1-B2:&0-2y=3
\end{array}
\]
Dari baris terakhir diperoleh $2y=-3$ atau $y=-\frac{3}{2}$. Substitusi $y=-\frac{3}{2}$ ke $B1$ diperoleh
\[
\begin{array}{rrl}
& x-3 \cdot \left(\frac{-3}{2}\right)&=2 \\
\text{atau } & x &=2-\frac{9}{2}\\
&&=-\frac{5}{2}
\end{array}
\]
Jadi Penyelesaiannya adalah $x=-\frac{5}{2}$ dan $y=-\frac{3}{2}$ atau dituliskan $(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$.
Secara geometris, jika suatu sistem persamaan linear memiliki Penyelesaianaian $(x_0,y_0)$, maka titik $(x_0,y_0)$ berada pada kedua garis lurus yang menyatakan grafik masing-masing persamaan linear. Oleh karena itu kedua garis berpotongan di titik $(x_0,y_0)$. Dengan demikian titk-titik dimana kedua garis lurus berpotongan merupakan Penyelesaianaian sistem persamaan linear tersebut.
Contoh
Carilah Penyelesaianaian sistem persamaan linear berikut dan gambarkan garis-garis yang menyatakan persamaan linearnya,
\[
\begin{array}{lrrr}
2x+y=1 \\
x+y=2
\end{array}
\]
Penyelesaian
Dapat anda cari bahwa Penyelesaianaian sistem persamaan linear ini adalah $x=-1$ dan $y=3$.
Dengan demikian kedua garis yang menyatakan persamaan-persamaan di atas adalah berpotongan di titik $(-1,3)$.
Secara grafik, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah titik perpotongan dua garis yang menyatakan kedua persamaan dalam sistem tersebut. Dua garis pada suatu bidang bisa terjadi:
- kedua garis berpotongan pada satu titik,
- kedua garis berimpit atau
- kedua garis tidak berimpit dan sejajar (tidak berpotongan).
Dalam istilah
penyelesaian sistem persamaan linear, ketiga hal di atas dapat dinyatakan sebagai berikut. Suatu sistem persamaan linear bisa:
- memiliki penyelesaian tunggal (unik),
- memiliki tak hingga banyak penyelesaian, atau
- tidak memiliki penyelesaian.
Definisi:
Suatu sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian dikatakan konsisten, sedangkan yang tidak memiliki
penyelesaian dikatakan tidak konsisten.
Dengan demikian sistem persamaan linear yang konsisten bisa memiliki penyelesaian tunggal atau
tak hingga banyak penyelesaian.
Contoh
Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut
\[
\begin{array}{rrl}
x -2y = 1 \\
2x -4y = 3
\end{array}
\]
Penyelesaian
Kalikan baris pertama dengan 2 lalu kurangkan dengan baris kedua ($2B1-B2$):
\[
\begin{array}{rrrl}
2B1:& x -2y& =& 1 \\
B2:& 2x -4y &=& 3 \\
\hline
2B1-B2:&0+0 &=&-1
\end{array}
\]
Pada baris terakhir diperoleh pernyataan $0=-1$ yang merupakan pernyataan yang mustahil, oleh karena itu disimpulkan bahwa sistem persamaan linear ini tidak memiliki penyelesaian (tidak konsisten).
Secara grafik, kedua persamaan dalam sistem persamaan linear ini adalah dua garis lurus berbeda yang sejajar; dengan demikian kedua garis tidak berpotongan, sehingga tidak ada satu titikpun yang berada pada kedua garis.
